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   みんなの算数講座    第11講座    計算は確実な    ところだけね


お星さまと虹今回は
場合の数のジャンルから、整数を並べる問題と色の塗(ぬ)り分け問題を取り上げたいと思います。計算がきく場合ときかない場合の区別に強くなってください。


「……となる場合は何通りありますか?」
算数でも数学でもよく見かける問題です。算数では
場合の数というジャンルに分類されていますが、場合の数の問題は大別して2通りのパターンがあります。

1つは、決まった計算式で簡単に答えが得られるもの…(A)
もう1つは、
場合分けという作業が必要になるもの…(B)です。

やはり(B)のパターンが苦手な人が多いようですね。
では、まず整数を並べる問題でそれぞれ簡単な例を示してみましょう。

(A)のパターン

1、2、3、4と書いたカードが1枚ずつあります。
これらを並べてできる4けたの整数は 全部で何通りありますか?

上位の位から考えると、
千の位→4通り
百の位→3通り(千の位で使った1枚が減るから)
十の位→2通り(さらに百の位で使った1枚が減るから)
一の位→1通り(さらに十の位で使った1枚が減るから)
よって、4×3×2×1=
24通り  ←答え

このように一度の計算で答えが出せます。
場合の数の
積の法則などと言いますが、その名前はあまり気にしなくてもよいから、このかけ算の感覚を大切にしてください。

(B)のパターン

0、1、2、3と書いたカードが1枚ずつあります。
これらを並べてできる4けたの偶数は全部で何通りありますか?

前の問題とはアプローチが違います。0が含まれていることと、偶数という条件があるからです。このように、いくつかの特別な条件がある問題では、一度の計算だけで答えを出すことができません。
次のような場合分けが必要となります。

偶数だから一の位は0または2です。その2つのパターンに場合分けします。

〈一の位が0である偶数 □□□0〉
上位の位から考えて、
千の位→3通り(一の位に固定された0を除くから)
百の位→2通り(千の位で使った1枚が減るから)
十の位→1通り
3×2×1=6(通り) ← 一の位が0の偶数は6通り

〈一の位が2である偶数 □□□2〉
上位の位から考えて、
千の位→2通り(一の位に固定された2を除き、千の位には0が使えない)
百の位→2通り
   (千の位で使った1枚が減るが、0が使えるから千の位と同じ2通り)
十の位→1通り(百の位で使った1枚が減るから)
2×2×1=4(通り) ← 一の位が2の偶数は4通り

これら2つのパターンを合計し、
4けたの偶数は全部で 6+4=
10通り です。 ←答え
※場合分けをしたときは、それぞれの結果を加えて最終的な答えとします。場合の数の和の法則といいますが、この感覚も大切に!

では次に色の塗り分け問題を解説しましょう。

下の図は、先日某国から独立した新しい国「サンスーン」の国旗ですが、ア〜オに塗る色がまだ決まっていません。使える色は赤・青・黄・緑・オレンジの5色ですが、必ずしも5色すべてを使う必要はありません。(すべて使ってもよい)
この国旗の色の塗り分け方は全部で何通りありますか? となり合う区画に同じ色を塗ることはできないものとし、☆の模様がアになくてオにあるから、上下を逆にして同じ塗り分け方になる場合はありません。

 問題図

この問題は、場合分けの感覚を身につけるためにとてもよい問題です。しっかりと読んでいただき、場合分けの感覚を養ってほしいと思います。

問題の条件に
5色すべてを使う必要はないとあります。つまり、5色すべてを使ってもよいが、4色や3色で済ませてもいいということです。2色では不可能ですね

ならば5色使う場合、4色使う場合、3色使う場合に場合分けするのが自然です。
やってみましょう。

〈ケース1〉5色で塗り分ける
これは簡単です。さきほどの数字並べの問題と同じように、
アにぬる色 5通り
イにぬる色 4通り(アに塗った1色が減るから)
ウにぬる色 3通り(さらにイに塗った1色が減るから)
エにぬる色 2通り(さらにウに塗った1色が減るから)
オにぬる色 1通り
よって、
5色で塗り分ける方法は5×4×3×2×1=120通り です。

〈ケース2〉4色で塗り分ける
4色の場合は@アとオを同じ色にするか Aイとエを同じ色にするかです。
※それ以外の区画どうしはすべてとなり合っているから同じ色にできません。

@、Aのどちらかが決まれば、それぞれ4色の並べ方が
4×3×2×1=24通り ずつあります。
※4色を塗るのは ア(=オ)、イ、ウ、エ または ア、イ(=エ)、ウ、オ です。

さらに4色の場合、塗るときに使う
4色の選び方も考えなくてはなりません。
5色の中から4色を選ぶのは
5通りです。
※5色から4色を選ぶことは、選ばない1色を選ぶことと同じだから当然5通り。


よって、4色で塗り分ける方法は、
@、Aのどちらにするか…2通り
4色の並べ方…24通り
4色の選び方…5通り のかけ算となり、
×24×5=240通り です。

〈ケース3〉3色で塗り分ける
3色の場合はアとオ、イとエをどちらも同じ色にするしかありません。

すると3色の並べ方が
 3×2×1=6通り です。
※3色を塗るのは ア(=オ)、イ(=エ)、ウ です。

そして塗るときに使う3色の選び方を考えると、
5色の中から3色を選ぶ組合せで 5
3=10通り です。
※組合せの計算については第14講座を参照。

よって、3色で塗り分ける方法は、
3色の並べ方…6通り
3色の選び方…10通り のかけ算となり、

6×10=60通り です。

以上のことから、サンスーン国の国旗を塗り分ける方法は、
〈ケース1〉 120通り
〈ケース2〉 240通り
〈ケース3〉 60通り
を加えて
420通りとなります。

***
いかがでしたか?

場合の数には、簡単な計算だけで寄り切れる問題(A)と、場合分けが必要になる問題(B)があります。おそらくみなさんが気にされるのは、自分の解く問題が(A)(B)どちらの問題なのか? ということだと思いますが、ボクからのアドバイスとしては、基本は計算に頼る(A)の姿勢を遠慮して、(B)の姿勢を中心に考える方がよいだろうと思います。そしていろいろな問題を解いているうちに、ここは明らかに計算がきくなぁということを経験で知っていってほしいです。

この場合はこう、この場合はこう、この場合はこう、……
そうやって場合分けをして考えながら、最後にすべてのパターンを合計する


これが場合の数の応用問題に立ち向かうときの王道です。きちんと意味がわかっていて自信のある場合を除いて、安易に計算だけで済ませようとしないでくださいね。

では今回の講座はこれで終わります。
場合の数はとても奥が深いから、また別の機会にも場合の数の問題を取り上げてみたいと思います。では次回までごきげんよう!


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