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   みんなの算数講座    第23講座    みなさんへの    挑戦 1本目


お星さまと虹毎度同じテーストの講座では刺激がないと思いまして、今回はアクセスしてくださるみなさんへの挑戦講座です。助け船のヒントも恒例にしていきたいと思います。では初の試み講座1本目です。


今回の挑戦問題は下のワクの中にあります。正直言って少し難しいです。まずはノーヒントでお考えいただき、無理そうだと感じたら問題の下にある
助け舟を読んでください。助け舟の内容をうまく組み合わせれば、きっと答えに到達できるでしょう。
※助け舟の内容をすべて使うとは限りません。

もし答えが出たら解答用紙から送ってくださいね。正解かどうかはみなさんのページで確認ができます。それではみなさんの健闘を期待しています!
〈お詫び〉 現在、解答の受付とサイト上での正解者発表はお休みしています。答えを出され、その正誤が気になる方は、トップページのメールフォームから「講座番号」と「解答」をお送りください。正誤についてお返事させていただきます。

問題図

左の図の台形ABCDで、
AD=4cm、BC=12cmです。また、△ABPと△CDPの面積比は7:1です。
このとき、△APDと△BCPの面積比を求めてください。
 


助け船助け船

その1 高さの等しい三角形の面積比

解説図
高さの等しい三角形は
底辺の比と面積の比が同じ
になります


左の図の△ABDと△ADCは
それぞれの底辺をBD、DCとしたときに高さが等しいから、
底辺の比(BD:DC)と面積の比は、どちらも同じ比になります。
※図ではどちらもX:Yとしました



その2 相似

解説図
上の図のように、同じ形で大きさだけがちがう図形を相似な図形といいます。
※小学校の検定教科書では縮図、拡大図と習うようです。相似という用語は中学の数学で新出なんですね。でも中学受験の世界ではどこでも相似と教えると思います。

相似な図形では次のような性質があります。

☆対応する角の大きさがすべて等しくなります。
 角A=角D、角B=角E、角C=角F 
上の図では等しい角に同じ印をつけました。

☆対応する辺の比がすべて等しくなります。
 AB:DE=BC:EF=AC:DF ←これらの比のことを
相似比といいます
 
上の図ではカラーを変えて相似比を a:b としました。

☆相似な図形の面積の比は、相似比を2回かけた比(2乗した比)になります。
 上の図の場合、△ABCと△DEFの面積の比は
(a×a):(b×b) です。

その3 第3の比を作る作業


〈三角形の面積〉を求める公式は〈底辺〉×〈高さ〉÷2です。いま2つの三角形があり、
〈底辺〉〈高さ〉〈面積〉という公式3要素のうち2つの比がわかっていれば第3の比を作ることができます。
もちろん作るときの計算は公式と同じです。
※公式の÷2のことは考えなくてかまいません。

〔面積の比〕=〔底辺の比〕×〔高さの比〕
〔底辺の比〕=〔面積の比〕÷〔高さの比〕
〔高さの比〕=〔面積の比〕×〔底辺の比〕

解説図
たとえば上の2つの三角形で〔底辺の比〕が
〔面積の比〕がのとき、〔底辺の比〕は (5÷2):(4÷3)=5/2:4/3=15/6:8/6=15:8です。


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