中学受験 算数家庭教師さんじゅつまんのホームページ さんじゅつまんイラスト 
   みんなの算数講座    第26講    パリの夕暮れと    内接円の半径


お星さまと虹今回は一本の公式を紹介する講座にしたいと思います。一度覚えてくれたらけっこう忘れないと思うので、しっかり読んで、しかり理解して持ち帰ってくださいね!

こんな問題を見たらチャンス到来です!

下の図のように、直角三角形にぴったり収まる円(内接円)Oがあります。
AB=6cm、BC=8cm、CA=10cmです。円の半径(
)を求めなさい。

解説図


解説の前にちょっと話が逸(そ)れますが、算数には三角形に円が内接するという概念はありません。タイトルは内接円と書きましたが、それは文字数合わせの関係です。
数学には
円と直線がただ1点で交わるとき、円と直線は接するというといった定義があり、三角形の3辺と内側で接する円が三角形の内接円です。
でも残念ながら算数ではそうした言葉の定義は行いません。それなのにこの問題は平気で出されるんですよ。出題文もそのあたりはうまくボカしてきますね。三角形の内側にちょうど収まる円とかね。まぁ算数には数学ほどの厳密さはなく、必ずしも「定義先にありき」でもないんです。特に定義をしなくても、見たままの図を自然にとらえて問題を解こう!
そんな算数のおおらかなところ、ボクは長所だと思って大目に見てますね。

※たとえ定義をしたところですべてがしっくりいくわけでもないです。たとえば円と直線がただ一点で交わるとはどういうこと?一点ってなに?点に面積はあるの?(→ありません)だったらなぜ面積のないものが存在してるの?点にも面積あるでしょう?(いゃありません)………キリがないわけです。こう考えると算数の見たまま主義も一理あるような気はしますね。

さて、肝心な解法にいきますよ。

解説図


中心OとA、B、Cをそれぞれつなぎます。
△ABC=△ABO+△BCO+△CAOと考え、この関係を利用して半径を計算します。

△ABCの面積 8×6÷2=24

△ABOの面積 6×
÷2
△BCOの面積 8×
÷2
△CAOの面積 10×
÷2

上の関係から式を作ると、
(6×
÷2)+(8×÷2)+(10×÷2)=24
分配法則を使って
をまとめると
(6+8+10)×
÷2=24
24×2÷(6+8+10)=48÷24=2cm →答え

こんな感じで内側にぴったり収まる円(内接円)の半径を求めることができました。
ここまでいいですよね?

この講座はまだ終わりません!
今回は一本の便利な公式を紹介するのがテーマだったでしょう?

上の解法の
最後の太線の式を言葉で考えてみましょう。
内接円の半径を求めるために、
△ABCの面積24を2倍し、6+8+10という3辺の和で割ったわけです。
こんなわかりやすい作業を覚えておかない手はありませんよね。

解説図

三角形にすっぽり収まる円(内接円)の半径の求め方
△ABC × 2 ÷(a+b+c)
←三角形の面積→         ←3辺の長さの和→

なかなかコンパクトに整理された式でしょう?

写真イメージあまり公式ばっかり乱発して教えてしまうと、算数でもっとも大切な考えて編(あ)み出すことを妨害してしまうおそれがあるから、算数時代の公式乱発には反対ですけど、今回の公式などは、
フランスの首都はパリみたいな常識の一つとして知っておいてもいいかもしれませんね。
あ、算数時代と書いたのは、中学から先の数学では、逆に公式ばっかりたくさん覚えることになるからです。数学は算数のアニキ。それは間違いないのだけど、弟の算数は公式をあまり持ってなくて、考えて編み出すのが好きな性格。アニキの数学は、たくさん公式をそろえていて、どれをどうやって組み合わせて使うかを考えるのが好きな性格って感じかな。

***
しかしちょっと今回のタイトルは大げさすぎましたね。タイトルで読ませちゃおうという考えがミエミエ?
すいません。おわびの気持ちでエッフェル塔をバックにした美しいパリの夕暮れをのっけておきますので許してください。

でもみなさん、美しいものが二つも見れてよかったですね。
え?パリの夕暮れと何かって? そりゃもちろん△ABC × 2 ÷(a+b+c)ですよ(笑)

なんかエッフェル塔といっしょに内接円の公式を書いていた先生がいたなぁ
そんなふうにみなさんがいつまでも忘れずにいてくれることを期待して、今回はこれで終わりにしたいと思います。また次の講座でお目にかかりましょう!さようなら...

カーテンコール
・上の例では外側が直角三角形でしたが、普通の三角形でも大丈夫です。△ABCの面積と3辺の和がわかれば、同じように内接円の半径が求められます。
・上の例と逆に、三角形の外に円が外接するときは、外接円の半径=(三角形の3辺の
)÷(内側の三角形の面積の倍)で求められます。ただしこれは中学・高校の数学範囲なので算数の問題に出現することはありえません。


リストマーク
東京近郊で中学受験を目指すお子様への算数家庭教師はさんじゅつまんにお任せください。
ご希望の方は、下記リンク「中学受験算数家庭教師について」をお読みになり、そのページ内に設置してあるフォームよりご連絡ください。事前のお問い合わせも歓迎です。

東京の中学受験 算数家庭教師さんじゅつまん中学受験算数家庭教師についてプロフィール著書目録
みんなの算数講座目次みんなの算数講座テスト問題また来てね問題集正解者発表みなさんのページ
大人のための算数通信添削リンク集解答用紙一般のご連絡フォーム家庭教師用ご連絡フォーム