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   みんなの算数講座    第36講座    みなさんへの    挑戦 2本目


お星さまと虹今回は、みんなの算数講座で2回目となる「みなさんへの挑戦」です。
中学受験難易度日本一、兵庫県神戸市の灘中学が作ってくれた問題です。
できなくてもめげないでくださいね。できなくても普通です。

写真をクリックすると灘中のサイトです。
灘中写真友人に聞かれたことがあります。
「中学受験で灘中に入るのと、東大に入るのはどっちが難しい?」
これは、ある同じ人間を想定し、その人のレベルで比較することになるのでしょうが、時間軸がずれてしまうのでとても難しいですね。まぁでもやはり灘中でしょうか。定員がたったの180人ですからね(東大の定員は約3000人)
反論もあると思いますが、それはさておき挑戦問題を発表することにしましょう。


整数を1から順にある数まで並べて、下の〔作業1〕〜〔作業3〕を順に行う。
〔作業1〕6で割ると3余る数は、その数を5と入れかえる。
〔作業2〕6で割りきれる数は、その数を25と入れかえる。
〔作業3〕すべての数をかける。

たとえば、1から10まで並べた場合は、
 1 2 3 4 5 6  7 8 9 10
 〔作業1〕
 1 2 5 4 5 6  7 8 5 10
 〔作業2〕
 1 2 5 4 5 25 7 8 5 10
 〔作業3〕
 1×2×5×4×5×25×7×8×5×10=14000000

こうしてできた14000000は、一の位から順に0が6個現れたあと、7個目にはじめて0でない数4が現れる。
では、1から400まで並べた場合、同じようにしてできた数は、一の位から順に0が何個現れたあと、はじめて0でない数が現れるか?

助け船助け船

第78講座でも取り上げていますが、一の位から並ぶ0の個数は、かけ算される数をすべて素因数分解したとき、〈5の個数〉が何個かを考えます。

作業開始前、400÷5=80より、5の倍数は80個ありますが、そのうち25の倍数は5を2個ずつ含むから、
←25=5×5 400÷25=16より〈5の個数〉は16個追加され、
125の倍数は5を3個ずつ含むから、←125=5×5×5 400÷125=3.…より〈5の個数〉はさらに3個追加され、結局作業開始前の〈5の個数〉は80+16+3=99個です。
もし作業開始前、1から400の整数をすべてかければ一の位から99個の0が並びます。

さて、〔作業1〕によって整数5が増えますが、〈5の個数〉については増えるばかりではありません。なぜなら、6で割ると3余る数の中に、もともと5の倍数だった数が含まれているからです。
たとえば15を6で割ると3余りますが、それを整数5に変えても、15(=3×5)はもともと5を持っているから〈5の個数〉としては±0です。もし6で割ると3余る数が25や125の倍数になっているとしたら、むしろ
〈5の個数〉は減ることもあるのです。

解説図1から400までの範囲で、6で割ると3余る数は
3、9、15、21、27、……、399です。
これを左図のようにア〜エに分類し、
〔作業1〕によって〈5の個数〉がどのように
増減するかを調べてみてください。
ア 〈5の個数〉は
+1個
イ 
〈5の個数〉±0個
ウ 〈5の個数〉−1個
エ 〈5の個数〉
−2個

〔作業2〕についても同じように考えます。
取りかえて出てくる整数25には5が2個ありますが、6で割りきれる数がもともと持っていた〈5の個数〉との兼ね合いで、〈5の個数〉の増減は次のようになるでしょう。

6で割りきれる数が
a 次のb〜dに該当しない⇒
〈5の個数〉は+2個
b 5の倍数(25の倍数除く)のとき⇒〈5の個数〉
+1個
c 25の倍数(125の倍数除く)のとき⇒〈5の個数〉±0個
d 125の倍数のとき⇒〈5の個数〉
は−1個
 ←400以下だとdにあてはまる数はないですね

助け船はこのへんまでにしましょう。
「6で割ると3余る数」と「6で割りきれる数」は重複しないから、〔作業1〕と〔作業2〕の両方で操作される数はありません。せめてもの救いですかね。
灘中さすがでしょう? あとはみなさんで慎重に灘中の克服をお願いします。

〈お詫び〉 現在、解答の受付とサイト上での正解者発表はお休みしています。この講座の灘中の問題の答えを出され、その正誤が気になる方は、トップページのメールフォームから「講座番号」と「解答」をお送りください。正誤についてお返事させていただきます。


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