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   みんなの算数講座    第44講座    みなさんへの    挑戦 3本目

お星さまと虹今回はみなさんへの挑戦3本目です。某進学塾の模擬試験の問題なのですが、かなりの思考力が必要です。
フィボナッチ数列を知っていると早いですが、知らなくても大丈夫でしょう。


これが今回の挑戦問題です。

コインを何回か順番に投げて、表が連続しないような 表・裏の出方を考えます。
コインを投げる回数が次のようなとき、そのような出方は何通りありますか?
(1)3回 (2)4回 (3)10回


助け船まで少し画面をあけますね。




















助け船助け船

基本的なことですが、コインを投げたときの表・裏の出方は、
コインを投げた回数だけ2をかけ算した積(通り) あります。

解説図
 たとえば(1)の3回なら、
 表・裏の出方は2×2×2=8(通り)あります。
 これは左のような樹形図で確認してもらえば
 一目瞭然(いちもくりょうぜん)かと思います。
 ※樹形図と解説では、表が出ることを、裏が出ることをとしています。


 そのうち表が連続しないような出方は?
 樹形図左上から順に拾っていくと
 
 ◆◆ ◆ ◆◆ ◆◆◆ 答えが出ましたね。

次に(2)の4回投げる場合です。
さんじゅつまん、愛用ソフト使ってもう一つ樹形図作成をがんばりました。

解説図
 4回投げる場合の表・裏の出方は、
 2×2×2×2=16(通り)です。

 そのうち表が連続しないような出方は?
 樹形図左上から順に拾っていくと
 
 ◆◆ ◆◆◆  ◆◆
 ◆◆ ◆◆ ◆◆◆◆

 これも答えが出たようです。




さて、問題は(3)なのですが、
コインを続けて10回投げる場合の表・裏の出方は全部で
2×2×2×2×2×2×2×2×2×2
=(2×2×2×2×2)×(2×2×2×2×2)=32×32=1024(通り)です。

このことは上に書いたような樹形図の延長で理解してもらえるとして、そのうち
表が連続しないような出方をどうやって求めましょう?
さすがに1024通りの樹形図を書いて調べる気にはならないから、なんとか理屈で攻めるしかありませんね。

ではここで5回投げた場合についても調べて、実証データを増やしておきましょう。
5回投げた場合に表が連続しないような出方は次の13通りです。
●  ◆◆  ◆◆  ◆◆◆  ◆◆◆◆
  ◆◆  ◆◆◆  ◆◆  ◆◆◆◆
◆◆◆  ◆◆◆◆  ◆◆◆◆


まずは(1)の3回投げた場合と(2)の4回投げた場合の間で、表が連続しないような出方がどのような規則で増えているかを調べてください。

3回の最後が表で終わっていると、4回目には裏を加えるしかありません。
(表を加えると表が連続してしまうから)
一方、3回の最後が裏で終わっていると、4回目には表を加えても裏を加えても大丈夫です。
何か規則性がつかめそうですね。

いまつかめた規則性を4回と5回の間でも確認してください。

このように考えていくと、5回がわかれば6回がわかり、6回がわかれば7回がわかり、…
コインを投げる回数が10回でも答えを出すことができそうですね。

ではひとまずここまでの助け舟で考えてもらうことにしましょう。

カーテンコール
この講座を発表してしばらくしたとき、東京都のNさんからある解法を書いたメールをいただきました。
助け舟に書いた内容だけでは、5回、6回、7回、…と順を追って調べなくてはならない感じがするかもしれませんが、じつは上手な工夫をすることで、かなり中間を省くことが可能になります。Nさんはその指摘をしてくれました。Nさんの指摘についてはまた別の機会にお話しします。それまでにみなさんも名案を考えてみてください。

〈お詫び〉 現在、解答の受付とサイト上での正解者発表はお休みしています。答えを出され、その正誤が気になる方は、トップページのメールフォームから「講座番号」と「解答」をお送りください。正誤についてお返事させていただきます。


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