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   みんなの算数講座    第55講    マニアックな話    16ができないこと

お星さまと虹今回は、ふつうの塾ではあまり取り上げないマニアックな整数ネタで、整数16の弱点なんてのを取り上げたいと思います。マニアックな上に少しややこしいかも。でも一生懸命書くから、がんばって解読してつかーさい(古語)

じゃマニアックな講座を始めましょう。たぶん見たことない問題ですよ↓

整数6を2つ以上の連続した整数の和で表してください。

これはまだ難しくないですね。勘(カン)のいい人ならすぐにわかったでしょう。
答えは
1+2+3 これで6になります。答えはこの1通りしかありません。

じゃあ次。
整数7を2つ以上の連続した整数の和で表してください。

これも1通り3+4で7ができます。

どんどんいきますよ。分けるのは連続した整数ですからね。
整数18を2つ以上の連続した整数の和で表してください。

これは
2通りできるんです。5+6+73+4+5+6ですね。

整数16を2つ以上の連続した整数の和で表してください。

きました。
ヤバい数がきましたよ。16はねえ、残念ながらできないんです。どんなにがんばっても不可能です。16は0通り

なんか不思議でしょう?
できたりできなかったり、できるときも1通りだったり2通りだったり。
算数は数学のように一般化(公式化)することにはあまりこだわらないのですが、それでもこんな問題だと何かの法則を知りたくなるのが人情でしょうね。

法則は最後に説明しますから、もう少し具体的な例を見ていってください。もし途中で法則がわかったら、あなた算数めちゃくちゃ優秀ですよ!

整数39を2つ以上の連続した整数の和で表してください。

答え言っちゃいますよ。39は
3通りの分解ができます。
具体的には
19+20と 12+13+14 4+5+6+7+8+9です。

じゃあ次。
整数72を2つ以上の連続した整数の和で表してください。

少し待ちましょうか?























72はですねえ、意外に少なくて
2通りだけ。
23+24+25
 4+5+……………+11+12でした。

早く理由を説明して〜という声が聞こえていますが、もう1個だけ。
整数63を2つ以上の連続した整数の和で表してください。

しばらく待ってます。























63はいままでのなかで一番多くて5通り
具体的に書くと
31+32
20+21+22
8+9+10+11+12+13
6+7+8+9+10+11+12
3+4+5+………+9+10+11

です。

いろいろな数で実験しましたね。何か閃(ひらめ)いたこと、あります?

じつはね〜 分解できるパターン数は、
その整数の、
1を除いた奇数の約数の個数と同じなのです。

さきほど上で示した●通りをもう一度確認すると、
6の約数1、2、3、6のうち、1以外の奇数は3だけ。→1通り
7の約数は1と7。1以外の奇数は7 →1通り
18の約数1、2、3、6、9、18のうち、1以外の奇数は3と9。→2通り
16が分解できなかった理由は、16に1を除いた奇数の約数がないからです。
その他の例についても同じ考え方です。調べてみてください。

ではこの理由を考えてみましょう。整数30を例にしましょうか。

30の約数は1、2、3、5、6、10、15、30
このうち1以外の奇数は3、5、15の3つです。したがって30の分解方法は3通りになるはずですね?
この3通りは30をそれぞれの約数個に等分し、まん中を中心として左右に1、2、3、…をバランスよく分配することで確認できます。順にア、イ、ウとして説明しますよ。

ア…3等分した場合
30を3等分すると10+10+10です。
センターの10はそのままにして、左の10を「−1」、右の10を「+1」すると、
9+10+11のように連続する整数の和に分解できます。

イ…5等分した場合
30を5等分すると6+6+6+6+6です。
センターの6はそのままにして、左の6を「−2」、そのとなりの6を「−1」、センターをはさんで右から2つめの6を「+1」、右端の6を「+2」すると、
4+5+6+7+8のように連続する整数の和に分解できます。

ウ…15等分した場合
30を2+2+2+………+2+2+2のように15等分します。(2が15個)
センターの2はそのままにして、左から「−7」「−6」「−5」……センター……「+5」「+6」「+7」のように操作すると、
−5−4−3−2−1+0+1+2+3+4+5+6+7+8+9のようになり、
引き算とたし算で相殺(そうさい)される部分を消すと
−5−4−3−2−1)+0+1+2+3+4+5+6+7+8+9
このように6+7+8+9という連続する整数の和に分解できます。

老婆心 算数にはマイナスの数がないから、上のように進めてしまうと、2−7などのところで困るかもしれませんね。その場合は2−7=−5とするのではなく、2−7は7−2の5が引ききれないから、あとで5が出てきたところで帳消しにしようという方針(教え方)でよいと思います。マイナスの数が定義されていなくても、「引けない分はあとで引けるようになったときに引く」ということですね。実際10−18+20のような意地悪計算問題の出題例はありますよ。頭から引くと−8が現れるから、先に10と20をたし、それから18を引けば12で解決です。

話を戻って
じつは、このような分配によって連続した整数の和に分解できるのは、もとの整数を奇数個に分けたときだけなのです。奇数個に分けるとセンターが存在するでしょう? そしてそのセンターを中心に左右に1、2、3、…を分配することで連続する整数の和に分解できるのです。もとの整数を偶数個に分けてしまうと、センターがないため、奇数個のときのような分配ができません。
こうした理由で、その整数の持つ奇数の約数の個数と同じだけ、連続する整数の和に分解するパターンがあるということです。もう一度赤くしてポイントを強調です。
整数には、1を除く奇数の約数の個数と同じだけ連続する整数の和で表す方法がある

なお、奇数でも1を無視する理由ですが、それは日本語の解釈の問題ですね。1個の連続した整数というのはヘンでしょう? たとえば6を6のまま、1個の連続した整数に分解したとは言わないです。「連続」という言葉は2個以上のときに使う言葉ですよね。

長くなりました。16といえば2×2×2×2でけっこう便利そうな数なのに意外な弱点があった!そんな感じでこの講座のことを忘れないでくださいね。32や64もダメ仲間よ。
ちょっといつもより難解な講座だったかな?
 一度で自信がない人は二度目、三度目を読んでくださいね!

最初にもマニアックと書いたけど、このテーマ、あんまり過去の入試での出題例がないのよね。あんまりっていうか、ほとんど皆無だったかも知れない。でももしかして、どこかの学校の先生が休みの日にこの講座を読んじゃって、「そうだ、このテーマにしよっ」とか閃いて、今度の入試に出ちゃったりしてね。
ん? さんじゅつまん余計なこと書くなって?
ごめんな、さぁーーーーーーーーーーい  
ドドドドド(逃げる音)

またね!


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