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   みんなの算数講座    第6講座    わらなくても    わかりますよ

お星さまと虹今回は
倍数の判定法について説明したいと思います。
ある整数が3で割り切れるか?とか、4で割り切れるか?というときに、
いちいち筆算して調べる必要はありません。それが今回のテーマですね。
覚えておくと、いろいろな問題を解くときにかなり便利ですよ。

それでは2の倍数から13の倍数までの倍数判定法を順番に説明します。
1つ1つ理解しながら読み進めてくださいね。

2の倍数の判定
2の倍数とは「偶数」のことです。
2の倍数には一の位が偶数
(0,2,4,6,8)という性質があります。
一の位が奇数(1,3,5,7,9)のときは2の倍数ではありません。これは簡単ですね。
【例】
176 → 一の位が6(偶数)だから2の倍数です
2793 → 一の位が3(偶数ではない)だから2の倍数ではありません

3の倍数の判定
3の倍数には
各位の数字の和が3の倍数という性質があります。
その整数の各位の数をすべて合計したときに、その和が3の倍数なら
もとの整数は3の倍数です。
【例】
176 → 各位の数字の和は14。14は3の倍数ではないから176は3の倍数ではありません
2793 → 各位の数字の和は21。21は3の倍数だから2793は3の倍数です


4の倍数の判定
4の倍数には
下2ケタが4の倍数という性質があります。
下2ケタだけで判断できるのが4の倍数の特長ですね。
下2ケタ4の倍数は00、04、08もふくみます。
【例】
176 → 下2ケタの76が4の倍数だから176は4の倍数です
5290 → 下2ケタの90が4の倍数ではないから2790は4の倍数ではありません

5の倍数の判定
5の倍数には
一の位が0か5という性質があります。
これはすごくやさしいですね。
【例】
176 → 一の位が6だから176は5の倍数ではありません
2790 → 一の位が0だから2790は5の倍数です


6の倍数の判定
6の倍数には
2の倍数であり3の倍数でもあるという性質があります。
つまり、上で書いた2の倍数、3の倍数の両方にあてはまるものが6の倍数となります。
6の倍数には1つだけの判定法はありません。
【例】

176 → 2の倍数ではあっても3の倍数ではありません。したがって176は6の倍数ではありません
2790 → 一の位が0だから2の倍数、各位の数字の和が18だから3の倍数です。したがって2790は6の倍数です


7の倍数の判定
7の倍数の判定はすこし話が長くなります。がんばって読んでください。
の倍数の判定は、参考書などにもほとんどのっていないはずです。
さんじゅつまんのホームページを訪れた人だけのお宝になるかも… ですよ。

@3ケタ以下の整数を調べるときは…
一の位の2倍と上位2ケタの差が7の倍数(0をふくむ)という性質があります。
574を例にして説明すると、4の2倍が8、これと上位2ケタの差は57−8=49です。
49が7の倍数だから、もとの数574は7の倍数です。

A4ケタ以下の整数を調べるときは…
下位から3ケタずつに組分けし、奇数番目の組と偶数番目の組の和をそれぞれ求め、
それらの差
*を調べます。その差について改めて@の判定を行います。
*最後の@の判定をしなくても、ここで求めた差が7の倍数とわかれば、もとの数は7の倍数といえます

17988904598を例にして説明すると、下位から3ケタずつに組分けして
598、904、988、17です。
奇数番目の組の和は598+988=1586
偶数番目の組の和は904+17=921
これらの差は1586−921=665です。@の判定を行うと66−5×2=56。
56は7の倍数だから、もとの数17988904598は7の倍数です。

8の倍数の判定
8の倍数には2つの判定法があります。

その1
下3ケタが8の倍数
4の倍数は下2ケタでしたが、8の倍数は下3ケタでの判定です。
下3ケタ8の倍数は000、024などをふくみます。
【例】
13328 → 下3ケタの324が8の倍数だから13328は8の倍数です


その2
下3ケタの計算は少し面倒ですね。そう思う人はこちらの判定法を使ってください。

まず百の位に注目して、
百の位が偶数なら ⇒ 
下2ケタが8の倍数なら8の倍数
百の位が奇数なら ⇒ 
下2ケタが8の倍数ではない4の倍数なら8の倍数
【例】
648 → 百の位6が偶数。下2ケタの48が8の倍数だから648は8の倍数です
2740 → 百の位7が奇数。この場合は下2ケタの40が8の倍数であっても2740が8の倍数とはなりません。
2736 → 百の位7が奇数。下2ケタの36が8の倍数ではない4の倍数だから2736は8の倍数です


9の倍数の判定
9の倍数には
各位の数字の和が9の倍数という性質があります。
その整数の各位の数をすべて合計したときに、その和が9の倍数なら
もとの整数は9の倍数です。
何かの判定法とソックリですね。そう、3の倍数です。
3の倍数と9の倍数は判定法が似ています。セットで覚えてくださいね。
【例】
576 → 各位の数字の和が18。18は9の倍数だから576は9の倍数です
2793 → 各位の数字の和が21。21は9の倍数ではないから2793は9の倍数ではありません


10の倍数の判定
ここは省略しようと思いましたが一応。
10の倍数は一の位が0
ですね。

11の倍数の判定
11の倍数判定についてはトップページ「ご来場プレゼント」にも書きました。
11の倍数には

一の位から1つおきに取り出した数字の和と、十の位から1つおきに取り出した数字の和をそれぞれ求め、それらの差が11の倍数(0をふくむ)なら11の倍数
という性質があります。
9372を例にして説明すると、一の位から1つおきに取り出した数の和は2+3=5。十の位から1つおきに取り出した数の和は7+9=16。これらの差が16−5=11(11の倍数)だから、もとの数9372は11の倍数です。

12の倍数の判定
12の倍数判定は6の倍数判定と似ています。
12の倍数は
3の倍数であり4の倍数でもあるというように、2つの条件をダブらせて
考えてください。

13の倍数の判定
13の倍数判定は7の倍数判定と似ています。

@3ケタ以下の整数を調べるときは

一の位の9倍と上位2ケタの差が13の倍数(0をふくむ)
という性質があります。
923を例にして説明すると、3の9倍が27、これと上位2ケタの差は92−27=65です。
65が13の倍数だから、もとの数923は13の倍数です。

A4ケタ以下の整数を調べるときは…
下位から3ケタずつに組分けし、奇数番目の組と偶数番目の組の和をそれぞれ求め、
それらの差
*を調べます。その差について改めて@の判定を行います>
*最後の@の判定をしなくても、ここで求めた差が13の倍数とわかれば、もとの数は13の倍数といえます

842673を例にして説明すると、下位から3ケタずつに組分けして673、842です。
これらの差は842−673=169です。
@の判定を行うと9×9ー16=65。65は13の倍数だから、もとの数842673は13の倍数です。
最後の判定をする前に、169が13の倍数だからOKという判断をしても大丈夫です。

***
倍数の判定法いかがでしたか? こうして並べてみると意外とボリュームがありましたね。きっとすでに知っているものもあったでしょう。でも「そりゃ初耳〜〜〜」という判定法もあったのではないでしょうか。

えっ? 7と13は判定法が長すぎて覚えられないって?
そうだね、その通りかもね。でもせっかくこういう講座を書くのにちゃんとそろってないと気持ち悪いじゃん。みなさんは7と13を抜かして、それ以外を覚えておいてくれたら十分だと思います。

じゃあまた次回の講座で!

ん? 14の倍数を教えろって? 「7の倍数になっている偶数だね」
15の倍数? 「3の倍数と5の倍数がダブっていればいい」
16の倍数? もうキリがないからこのへんでお開きにいたしましょう。
ここで紹介した倍数の判定法が、みなさんが算数の問題を解くときに大いに役立つことを期待したいと思います。じゃあ本当にまた次回!


テスト問題を改訂版にリニューアルしました。
右の まねき猫をクリック すると、第6講座のテスト問題があります。
解答、解説は別ページです。問題のページからお進みください。


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