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   みんなの算数講座    第61講座    北の国から    点の移動


お星さまと虹今回の講座では、大ヒットはしないものの、いつの時代も出題される歴史的安定感のある問題を取り上げてみようと思います。さんじゅつまんが大好きな時代を越えた名曲とともにご覧ください。初企画です。


まさかこの名曲を知らない人はいないですよねー(^^)/
若い人はリアルタイムでは見てないかもしれないけど、いろんな番組でよくかかってるでしょ?
そうそう、ラベンダーで有名な北海道・富良野市を舞台にした「北の国から(フジテレビ)」というドラマの主題歌です。歌っているのは(スキャットなんで歌詞はないけど…)ボクが小学校5年生のときからン十年ファンをやり続けている さだまさし さんですどうぞ今回の講座は、さださんの名曲をお聞きになりながら読んでみてください。いい企画だなあ(自画自賛)

ウィキペディア(北の国から)  北の国から資料館
リンクも2つ貼っておきますね。

解説図右の図のような長方形があり、点は頂点Aを出発して辺AD上を、点Qは頂点Bを出発して辺BC上をそれぞれきまった速さで往復します。
2点
を結ぶ直線の左側の図形をとします。
このとき、点
が往復を終えるまでの図形の面積は下のグラフのようになりました。
解説図
(1)点
と点の速さの比を求めなさい。

(2)15秒後の図形の面積は36cm2でした。長方形ABCDの面積を求めなさい。

(3)図形が長方形となるのは何秒後ですか。すべて求めなさい。

問題の状況は飲み込めましたか?
長方形の上の辺を
が動き、下の辺をが動きます。は同時に出発しますが、速さが違うのでの位置がズレ、線分PQは斜めになっていきます。そしてそのときに、線分PQの左側にできる図形がで、その面積がグラフとして与えられているわけです。

では、これからボクがみなさんに素朴な質問をしますのでちょっと考えてみてください。

素朴な質問
ってどっちが速いんですか? また、それはどうしてですか?































素朴な質問の答え
速いのは
です。たぶん正解率90%以上。
しかし、その理由は問題図で
より右側に書いてあるからではありませんよ。
は頂点に到達すると折り返しますから、もしかするとが一度Cに到達し、折り返して戻ってきたあとの図が書いてあるのかも知れません。算数の問題では理由もないのに図だけで大切な判断をしてはいけません。ではPの方が速い本当の理由は?

問題文をよく読んでください。グラフはが一往復する間のグラフ」と書いてあります。
つまり
は一往復に30秒かかっている。すると片道が15秒だから、その前の10秒のときになぜグラフが変化しているか?と考える。
そうそう、10秒のときに
がDに到着したからグラフが変化するんです。片道10秒のと片道15秒の。当然の方が速いわけです。

そしてこのことで(1)の答えがわかります。
片道という等しい距離を
は10秒、は15秒かかるので、(速さの比)は(時間の比)の逆比だから、の速さ:の速さ=15:10=3:2

さて、(2)(3)の設問を処理するために、問題のグラフが変化するところにア〜エの記号をつけてみました。それぞれの場所で何が起こったかを整理してみましょう。

解説図 ★グラフので起きたこと(10秒後)
が点Dに到着しました。そのとき点はBC上のBから2/3の地点でCに向かっています。(速さの比が3:2)
解説図

★グラフので起きたこと(15秒後)
が点Cに到着しました。点はすでに折り返し、DA上の中間点でAに向かっています。中間点の理由は
と点は速さが3:2だから、Qが3進めばは4.5進むことになり、が折り返し後に進んだ距離は4.5ー3=1.5。これは辺の長さのちょうど半分です。
解説図

ここまで考えると、(2)と(3)の1回目が出せます。

(2)問題の条件に15秒後の
の面積が36cm2 とあります。15秒後のの面積は、上の図に示したように長方形ABCDの3/4だから(点線で1/4ずつに区切ってあります)
長方形ABCD=36÷3/4=
48cm2

(3)図形が長方形になるのは
の真下にがくるときです。その1回目がの間にあります。
10秒後に
がDを折り返すと、は向き合って進むことになり、10秒後のの距離はだから、の速さ:の速さ=3:2より、3/5 2/5の距離を進んだところでが出会う(の真下にがくる)ことになります。
の距離を進むのに5秒(15秒後ー10秒後=5秒)かかるから、2/5の距離を進むには2秒かかり、このことからの真下にがくるのは10+2=12(秒後) とわかります。※1回目

長いです。北の国からは終わっちゃってますよね。もう一度再生してみては?(^-^)

続いて
グラフの
で起きたことを考えます。

★グラフの
で起きたこと(20秒後)

が点Aに到着しました。点はすでに折り返しを終え、CB上の1/3の地点でBに向かっています。点が往復で進めば点進みますね。Qは折り返し後進んでいます。
この後、は再び向き合って進むことになります。問題には一往復で終わりとは書いてないので気をつけてください。
20秒後に
がAを折り返すとき、の距離はだから、の速さ:の速さ=3:2より、6/5 4/5の距離を進んだところでの真下にがくるはずです。
の距離を進むのに5秒かかるから、4/5の距離を進むには4秒かかり、このことからの真下にがくるのは20+4=24(秒後)とわかります。※2回目
解説図

これで問題はすべて解けてしまいましたが、参考までにグラフの
での様子は次のようになります。
解説図

このような問題にあたる場合、実際に出題される設問は限られていますが、その設問だけを解いて満足しないことも大事でしょうね。
たとえばボクが出題者だったら、
(4)線分PQによって左右に分けられる2つの図形の面積が等しくなるのは何秒後ですか?

こんな設問を作るかも知れませんよ。難しい学校なら、もっと手ごわい設問を用意してくるかもしれません。では(4)はテスト問題に回しますので、みなさんががんばってみてください。

本邦初公開、まっさんの名曲つき講座いががでしたでしょうか。
じゃあまたなるべく早いうちに次の講座を書こうと思います。それまでみなさんお元気で!


〈お詫び〉 現在、解答の受付とサイト上での正解者発表はお休みしています。(4)の答えを出され、その正誤が気になる方は、トップページのメールフォームから「講座番号」と「解答」をお送りください。正誤についてお返事させていただきます。


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