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   みんなの算数講座    第65講座    切り口のレジュメ    (前編)

お星さまと虹
立体の切断面 もっと早く書くべき重要項目でしたが、なぜかようやく第65講座で初登場です。まぁいろいろ他のことを書いていましたからね。おわびの気持ちもこめて2回連続で特集します。


ではまず次の基本図からご覧ください。
解説図
何の変哲(へんてつ)もないごく普通の立方体です。
算数の問題で昔も今も大流行なのは、基本図の立方体の辺上に
3点を与え、その3点をすべて含む面で切断したときの切断面(切り口)を考える問題です。

なぜ、与える点が3点かといえば、
平面は3点によって決定するという平面の決定条件が関係しています。
2点を含む平面は無数に存在して1通りに定まりませんし、4点以上になると、それらの点をすべて含む平面の存在が怪(あや)しくなります。存在することもあるでしょうが、必ずという保証がなくなります。だから3点です。
3点を与えることで、ただ1通りの平面が決定するのです。
※同じ直線上にある3点だとダメ(例外)

では、ここから4問の問題を並べます。(最後の図4が宿題になります)
どの問題にもカラー表示した3点を与えていますので、それら3点を含む面で立方体を切断したときの切り口の図形名称を考えてください。
イメージするだけでもよいですが、できればこのページを印刷するか、または別の紙に同じような図を書いて、実際に確かめてみてほしいですね。
なお、カラー表示の
赤い点は立方体の頂点、青い点は立方体の各辺の中点です。

次の図1〜図4の立方体について、与えられた3点を含む平面で切断したとき、
切り口はどのような図形になりますか?


   問題図    問題図

   問題図    問題図


では、図1〜図3について解説しましょう。
まず、次に挙げる
立方体切断のレジュメ&反則をアタマに入れてください。

レジュメ1
立方体の同じ側面上にある2点は直接つないでよい
※立方体の側面は6つ。同じ側面上というのは、どの側面でもかまいません

反則
立方体の同じ側面上にない2点を直接つなぐことはできない

レジュメ2
平行に向き合っている立体の面においては切り口の辺も平行に向き合う
※平行な面に切り口の辺が存在するなら...です

レジュメ3
切り口を答えるときは、もっともふさわしい図形名で答える
※平行四辺形を四角形、二等辺三角形を三角形などはダメ!

図1解説
もっとも基本的な問題です。
BとD、BとG、DとGは、すべて同じ側面上にある2点です。
したがってレジュメ1より、それぞれストレートに直線でつなぐことができ、
切り口は下の図のような
正三角形になります。
レジュメ3にも書きましたが、三角形などと答えると不正解になります。
BD=BG=DGを確認し、きちんと正三角形と答えてください。

図2解説
1ヶ所だけ落とし穴があります。BとD、DとHはダイレクトに結べますが、BとHをダイレクトに結ぶことはできません。「反則」に書いたように、BとHは同じ側面上にある2点ではないからです。

このような場合がレジュメ2の出番です。
立方体の上の面(ABCD)と下の面(EFGH)は平行に向き合っているから、平行な面では切り口も平行になり、Hを通るBDの平行線が切り口の1辺になります。
するとその平行線はFHとなり、BとFは同じ側面上にある2点なので結べます。
切り口は下の図のような
長方形になります。

図3解説
図2と同じように考えます。PとQ、PとFはダイレクトに結べますが、QとFをダイレクトに結ぶことはできません。QとFは同じ側面上にある2点ではないからです。
Fを通るようにPQの平行線を引いてください。その平行線はFHとなり、QとHは同じ側面上にある2点なので結べます。
切り口は下の図のような
等脚台形になります。
※文科省の検定教科書に等脚台形という用語はありません。これは台形と答えても正解でしょう。

解説図
解答整理
図1 BD=BG=DGの正三角形
図2 長方形
図3 PQとFHが平行、PF=QHの左右対称な等脚台形
 ※台形も正解

***
どうですか? 立方体の切り口。簡単だったでしょう?
しかし
(勉強した人は知っているかと思いますが…) 残念なことにレジュメ1と2だけでは判断しきれない3点の与え方もあるのです。その場合は面や辺を広げる(延ばす)というレジュメ4が必要になりますが、それについては次回の後編で扱いたいと思います。なるべく早くアップしますから、また続きを読みにきてくださいね。

それじゃあ今回の前編はここでおしまい。礼っ。解散っ。


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