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   みんなの算数講座    第66講座    切り口のレジュメ    (後編)

お星さまと虹
前回第65講座に続けて立方体の切り口について解説していきます。


解説図

前回は、基本図の立方体の周囲辺上に任意の3点を与え、その3点を含む平面で、立方体を切断したときの切り口を考えました。まだお読みでない方は、戻って第65講座を先に読んでくださいね。

3つのレジュメと1つの反則がありました。再掲します。

レジュメ1
立方体の同じ側面上にある2点は直接つないでよい

※立方体の側面は6つ。同じ側面上というのは、どの側面でもかまいません


反則
立方体の同じ側面上にない2点を直接つなぐことはできない

レジュメ2
平行に向き合っている立体の面においては切り口の辺も平行に向き合う
※平行な面に切り口の辺が存在するなら...です

レジュメ3
切り口を答えるときは、もっともふさわしい図形名で答える
※平行四辺形を四角形、二等辺三角形を三角形などはダメ!

前回は講座の前編ということで、意図的にこれらのレジュメ(と反則)だけで対処できる問題を扱ったのですが、今回はこれらのレジュメ(と反則)だけでは対処に困るパターンを扱ってみることにします。

下の問題をご覧ください。
カラー表示の
赤い点は立方体の頂点、青い点は立方体の各辺の中点、緑色の点は立方体の各辺の3等分点(下寄り)を表しています。

次の図5・図6の立方体について、与えられた3点を含む平面で切断したとき、切り口はどのような図形になりますか?

   問題図 問題図

まず図5から解説しますが、そのためにレジュメ4が登場します。

レジュメ4
立方体の平行な面に切り口の平行線を引くときは、相似形を考え、切り口の通過点を計算する

解説図

上の図が、図5の解答図です。
まず、レジュメ1の定跡通り、AとP、AとQを連結させます。「反則」のとおりPとQは連結できないので、レジュメ2より、右側の正方形CGHDにAPの平行線を、手前の正方形BFGCにAQの平行線を引きます。

上の図では、手前の正方形BFGCと奥の正方形AEHDに1辺の長さを3とした場合の数値が記入してありますが、手前の正方形でPを通るAQの平行線PRを引くとき、
△RPFと△AQDとが相似になるから、RF:FPはAD:DQと等しく3:2です。

いま、FPの長さは1だから、RF:1=3:2
この比例式からRF=1.5と計算できます。1.5は3の半分だから、RはFGの中点であることがわかります。APの平行線QSを引くときのSの位置もまったく同様です。

このことから、立方体の切り口がR、Sを通過していることがわかり、R、Sは立方体の同じ側面上の2点なので、レジュメ1により連結できます。

図5の切り口が判明しました。
図5の立方体の切り口は、AP=AQ、PR=QSで、さらにAPとQS、AQとPRが平行になっているような左右対称な貝殻(かいがら)型の
五角形です。
※特別な名称はないので、試験ではふつうに五角形と答えてよいです

次に図6を解説しますが、そのために
レジュメ5が登場します。

レジュメ5
与えられた図の中だけで切り口の作図ができないときは、与えられた立方体の辺を延長し、側面を広げて考えてよい

解説図

問題で与えられた3点は、P、Q、Rです。
レジュメ1より、PとQをストレートにつなぐことができますが、その後は次のような方針で進めます。

PQを両側に延長し、CBの延長との交点をX、CDの延長との交点をYとします。
(延長した立方体の辺は
、切り口の辺は薄いブルーで示してあります)

すると、切り口の1辺であるPQがXYまで延びたことになり、Xは立方体の手前の面BFGC上の点だから
(正確には立方体の手前の面BFGCを広げた面上の点)XとRは同一平面内の2点となり、レジュメ1により連結することができます。

XとRをつなぐ直線は、BFの中点も通り、CGの延長上に到達します。(Z)

切り口の通過点が、立方体の各辺の中点になることは、図の中の各所にある三角形(たとえば△APQ、△BPX など)がどれも合同な直角二等辺三角形(45°三角定規の形)であることから確認してください。

ここまで進めば、あともう少しです。
立方体の左右対称性を利用しましょう。
立方体は、対角線AC(面AEGC)を境にして左右対称だから、点Yの周りでも点Xの周りと同じ作図ができることがわかります。
対角線CF(面CDEF)を境に左右対称と見れば、点Zの周りでも同じ作図ができます。

立方体の左右対称性について
ある面を対称に左右対称な立体を面対称な立体といいます。面対称という用語は算数には出てきませんが、用語のことは別にしても、図6の三角すいCXYZが面AEGCを境に左右対称(左にX、右にYの左右対称)であることはおさえてください。
チェック
左をX、右をZの左右対称とみるなら、境界はどの面ですか?
また、左をZ、右をYの左右対称とみるなら、境界はどの面ですか?(解答は最後)


少し補足が入りましたが、図6の切り口が判明しました。図6の立方体の切り口は、すべての辺の長さが等しい
正六角形です。
なお、この切り口は
立方体を2つのまったく合同な立体に切り分けています。切り口の前後にある立体は同じ立体なのですね。

解答整理
図5 AP=AQ、PR=QS
   さらにAPとQS、AQとPRが平行になっている五角形(貝殻型)
図6 正六角形

***
切り口講座の後編、理解してもらえたでしょうか? 前編よりも複雑な切り口でしたが、貝殻型の五角形と正六角形。とてもきれいな切り口ですよね?
中学や高校の数学では、こうした切り口の面積を求める勉強もしますよ。算数ではルートが使えないので、そこまで踏み込んだ勉強はしませんが、どんな切り口になるかを考える問題は、かなりよく出題されますから、3点の与えられ方が変わっても、しっかり切り口が書けるように練習しておいてください。

では最後に、立方体の切り口として入試によく出る図形を並べておきましょう。どのような3点が与えられれば下に書くような切り口になるか?作図とは逆に考えてみるのも勉強になると思います。

入試によく出る立方体の切り口の図形
三角形……二等辺三角形、正三角形
四角形……正方形、長方形、平行四辺形、ひし形、(等脚)台形
多角形……貝殻型五角形、正六角形
※これ以外にも、一般の(普通の)三角形〜六角形は切り口として可能です。ありそうでないのは正五角形。また七角形以上の多角形は不可能です。

ではみなさん、次回の算数講座でまたお目にかかりたいと思います。どうぞそれまでお元気で!

チェックの解答
面CDEFを境界にして、左にX、右にZの左右対称です。(X、Zの左右は便宜上)
面CBEHを境界にして、左にZ、右にYの左右対称です。(Z、Yの左右は便宜上)



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