中学受験 算数家庭教師さんじゅつまんのホームページ さんじゅつまんイラスト
   みんなの算数講座    第68講    大きくなっても    小さいころのように

お星さまと虹ボクが算数を好きな理由の一つに
例外が少ないということがあります。
答えがビシッと男らしく決まるので気持ちがいい。 え?あなたも同感?(^o^)


例外が
少ないと書いたから、気になった人がいるでしょうか?
例外が
ナイと考えていた人もいるかな?

う〜ん  ・・・さんじゅつまん考慮中・・・

やっぱり少ないけど例外はあるよね。0で割る割り算が反則とか、2の0倍が0なのに、0を2の倍数には入れないとかね。0関係によく例外があるよ。だから
ナイとまでは言わないけど、少ないという意味では算数は他の科目と比べてダントツでしょうね。例外の少なさについてはウサインボルトが小学生と走っているくらいぶっちぎっていて、他の科目にはまったく歯が立たない算数最大の特長といえるでしょう。

国語
漢字や知識など答えのはっきりした部分もあるけれど、読解問題の記述や作文など、受験生の解答は例外だらけでしょう。採点難しいだろうな。不公平とか出ないのかな。
いつだかテレビ番組で、有名な作家が自分の書いた文章の読解問題を解いて、あまりいい点数ではなかったことを覚えています。国語の解答は作者の思惑を超えることがあるらしい。
は〜ぁ ボクには絶対国語の先生できません。

理科
算数の持つ正確性に加え、非常に多くの例外が組み込まれた難科目です。
おしべやめしべの数が植物によって変わったり、化学式は算数なんだけど、式が成り立てば何でもその通りに反応するってもんでもない。電気は+から−へ流れ、電子は−から+に流れる???
宇宙にしても微生物にしても、目に見えない世界のオンパレード。
は〜ぁ ボクには絶対理科の先生できません。

社会
タイムマシンの操縦士さん的な歴史。
年々新しいデータが発売される新製品の展示会が地理。
大人社会のルールを子供に伝えようとするおませな公民。
3つ別々でも大変なのに、いっぺんにまとめて1科目で教えるなんて神業です。ボクの経験では、4科目で一番人間的な深みを感じるのは社会の先生だなあ。オールマイティーに世の中を語れる人って感じ。
は〜ぁ ボクには絶対社会の先生できません。

………と、他の科目をほめておいてから話を算数に戻します。
答えは必ず
ビシッ と決まるんだけど、しかしその ビシッ とした答えを出すまでに、飛行機に乗るか、電車に乗るか、あるいは車で行くかみたいな選択ができて、たとえ最終目的地が同じでも、いろいろな行き方があってそれぞれ景色がちがってね。算数はそんな楽しみ方ができる科目なんだよね。答えが一つでやり方も一つだったら、たぶん算数は全然つまらない科目になっちゃうんじゃないかな。

相変わらず長い前置きでしたけど、今回ボクが講座に選んだテーマは規則性。これこそ例外は100%絶対にありませんよ。万が一例外があったら、それって規則性じゃなくなるから。
ではいってみましょう。例外なき変わらぬ規則の宝庫、数表の問題です。

下の図のように、奇数をあるきまりにしたがって並べました。
(1)上から8段目の左端の数を求めてください。
(2)上から49段目の中央の数はいくつですか?
(3)上から100段目にはいくつからいくつの奇数が並んでいて、また、その和はいくつですか?

            1
           3 5
          7 9 11
         13 15 17 19
        ・・・・・・・・・・・
       ・・・・・・・・・・・・・


解説
(1)
各段の左端の数だけを抜き出すと次のような数列になります。

@ A B C ・・・
1 3 7 13 ・・・
 ∧  ∧  ∧
 
2 4 6 ・・・

ブルーで示した○の数はこの数列につけた
各項の番号で、オレンジで示した数は各項の差です。
各項の差は
2 4 6 ・・・という偶数になっています。
求めたいのは
Gですが、@からGの間には7つのオレンジの数字があるはずです。
※間隔の数は木の本数より1つ少ない(植木算)
  
オレンジの数字は偶数の並びだから、
2 4 6 ・・・ この7つ目は2×7=14です。
よって
G
最初の1に
+・・・+14を加えれば求めることができます。

ここで、+・・・+14の計算に、
等差数列の和の公式(初めの数+終わりの数)×個数÷2を用います。
+・・・+14=(2+14)×7÷2=56
← 7個の連続偶数 →

G=1+(+・・・+14)=1+56=57です。

(2)
各段に並ぶ数の個数は上の段から順に、
1個、2個、3個、4個、… のように1個ずつ増えています。
(並んでいる数の個数は、上から何段目という段数と同じ)
したがって上から49段目には49個の数が並んでいることになります。

その左端の数は(1)と同じように、
49段目の左端の数
=1+(
+・・・+96
     ← 48個の連続偶数 →
=1+{(2+96)×48÷2}=1+2352=2353

2353 2355 2357 2359 ・・・  ←49段目

49個の数の中央は左から25番目リストマークだから、
左端の2353に2を24個加えれば求めることができます。
49段目の中央の数は 2353+2×24=2353+48=2401
です。

リストマークの説明…奇数個の数の中央が左から何番目かを求めるときは、1をたして2で割ればよいです。つまり49個の数の中央は、左から(49+1)÷2=25番目
です。なお、偶数個の数が並ぶとき中央の数は存在しません。奇数個の数が並ぶときだけ、中央の数が存在します。

(3)
上から100段目とだいぶ数値が大きくなっています。
規則性の問題では、すべてを書き出し、力まかせに答えることを防止して、後半の設問では数値を大きくする傾向があります。
書き出して答えが出せてしまう設問ばかりでは、解答者の本当の思考力が調べられないからでしょう。前にどこかの講座で話をした 根性算 になってしまいますね。
しかし、数値がどんなに大きくなっても、しっかり規則性がつかめていればおそれることはありません。しっかりと落ち着いて処理するようにしましょう。

上から100段目には100個の数が並びます。
その左端の数は、(1)や(2)と同じように、

100段目の左端の数
=1+(
+・・・+198
     ← 99個の連続偶数 →
=1+{(2+198)×99÷2}=1+9900=9901

9901 9903 9905 9907 ・・・  ←100段目

100段目には100個の数があるので、左端の9901に2を99個加えた数が、100段目の右端、すなわち100段目の最後の数です。

100段目の右端(最後)の数=9901+2×99=9901+198=10099

よって、100段目には
9901から10099までの奇数が並んでいて、れらすべての数の和は、
(9901+10099)×100÷2=20000×100÷2=
1000000です。

別解
(1)(2)
8段目の左端の奇数や49段目の中央の奇数が「初めの奇数の1から数えて何番目の奇数か?」と考える手もあるでしょう。
初めの1から数えてN番目の奇数とわかれば、N番目の奇数N×2−1で計算できます。

8段目の左端の奇数
は、それより前に1+2+3+・・・+7=28個の奇数があるから、
28+1=29番目の奇数です。
29番目の奇数は、上の式を使って 29×2−1=
57 です。

49段目の中央の奇数は、
初めから(1+2+3+・・・+48)+25=1176+25=1201番目の奇数です。
1201番目の奇数は、上の式を使って
2401です。

(3)
奇数和の公式を紹介しておきます。
1から順にK個の奇数を加えた和K×K

大変シンプルなのですが、意外と知られていません。みなさんはぜひ覚えておいてくださいね。
たとえば、1から順に4個の奇数を加えると1+3+5+7=16ですが、7は4個目の奇数だから、4×4=16のように求めることができます。

このことを使って、100段目の和を、
〈1段目〜100段目のすべての和〉から〈1段目〜99段目のすべての和〉を引くという方法で求めることができます。

100段目の最後の奇数は、
初めから1+2+3+・・・+100=(1+100)×100÷2=5050番目の奇数です。
1から順に5050番目までの奇数をすべて加えた和は、
上の式を使って 5050×5050 …ア です。
同じように99段目の最後の奇数は、
初めから1+2+3+・・・+99=(1+99)×99÷2=4950番目の奇数です。
1から順に4950番目までの奇数をすべて加えた和は 4950×4950…イ です。

よって、100段目の合計はア−イより、5050×5050−4950×4950です。正直に計算してもよいですが、ちょっと大変だから下の図のような工夫をすると計算が楽になって
1000000を求めることができます。
解説図
[5050×5050−4950×4950の計算の工夫]
5050×5050は、1辺の長さが5050の正方形の面積です。
4950×4950は、1辺の長さが4950の正方形の面積です。
よって5050×5050−4950×4950の答えは、上の図の赤い線で囲んだ部分の面積となります。
4950×100×2+100×100=990000+100000=1000000


***
今回は規則性のジャンルから数表の問題を扱ってみました。
この講座のタイトルを見て、なんだ〜?と思ったかもしれませんが、しかしこのタイトルこそが、規則性の問題では一番大事なことではないかと思うのです。
数が小さい方が扱いやすいのは当然でしょうが、数が小さいときに見抜いた規則性を数が大きくなっても同じように使うことができれば規則性はこわいものなしです。

ボクは規則性好きなんで、またそのうち他の講座でも取り上げたいと思います。
ではみなさん、次回の第69講座でまた元気に算数を考えましょう!

ん?最初に書いてあった算数の例外が他にもないかって?
4−9とかもできないし、方陣算で正方形に並べていくまわりのご石が1つ内側にはいると普通は8個減るけど最後だけ8個減らない(…→32→24→16→8→
)なんてのも例外じゃない?
他にもあったらお便りくださいよ。じゃあ今度こそ本当におしまい。


リストマーク
東京近郊で中学受験を目指すお子様への算数家庭教師はさんじゅつまんにお任せください。
ご希望の方は、下記リンク「中学受験算数家庭教師について」をお読みになり、そのページ内に設置してあるフォームよりご連絡ください。事前のお問い合わせも歓迎です。

東京の中学受験 算数家庭教師さんじゅつまん中学受験算数家庭教師についてプロフィール著書目録
みんなの算数講座目次みんなの算数講座テスト問題また来てね問題集正解者発表みなさんのページ
リンク集解答用紙一般のご連絡フォーム家庭教師用ご連絡フォーム