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   みんなの算数講座    第73講座    必ず成り立つ式を    作ろう!

お星さまと虹今回は等差数列のお話です。等差数列とは、間隔(かんかく)の数が等しくなっている数列のことです。どこの塾でもやると思いますが、どうも要領の悪い人が多いようです。


今回はいきなり問題です。前置きの雑談はまたの機会のお楽しみに!

6 13 20 27 34 41 48 ………

(1)上の等差数列の100番目の数はいくつですか?
(2)1070は何番目の数ですか?
(3)最初の6から1070までの総和はいくつですか?

最初の数(初項といいます)が6で、そのあとは7ずつ(公差といいます)増えていく等差数列です。

(1)
100番目の数を求めるには、植木算として考える次の方法が塾などでは多いだろうと思います。

それぞれの数は7ずつ離(はな)れているから、最初の数(6)に7を99回たせば、100番目の数を求めることができます。
※100個の数が並ぶとき、数と数の間隔は99ヶ所です

したがって100番目の数は、
6+7×(100−1)=6+7×99=6+693=
699です。

ここで次のような公式を作ることができます。
等差数列の□番目の数=最初の数+公差×(□−1)

(2)
いま用意された公式を使って逆算すると、
6+7×(□−1)=1070
7×(□−1)=1070−6=1064
□−1=1064÷7=152
□=152+1=153 →1070は
153番目の数

(3)
等差数列の和は次の公式を使います。
等差数列の和=(最初の数+終わりの数)×個数÷2

最初の数が6、終わりの数が1070で個数が153個だから、
(6+1070)×153÷2=
82314
これが(3)の解答です。
※等差数列の和の公式の理由は、最後のカーテンコールを参照してください

以上で解答を求めることができました。塾などではこれで メデタシメデタシ となるようですが、これだけだとちょっと甘いですかね。


ボクは生徒たちに必ず次のことを付け加えます。

等差数列のそれぞれの数に順番を示す番号をつけると、その番号とそれぞれの数の間に、必ず簡単な式が成り立っている

ここで問題の等差数列を再掲し、それぞれの数に順番を示す番号をつけます。
 
@  A B  C  D E  F
 
6 13 20 27 34 41 48 ………

番号と それに対応する数を比べてみると、どこでも必ず番号を7倍して1を引くとそれぞれの数という関係が成り立っていませんか?

 
@×7−1=
 
A×7−1=13
 
B×7−1=20

3つ調べて全部OKですから、どうやら「
番号×7−1=それぞれの数」に間違いはなさそうです。

この方法でもう一度(1)と(2)を解答します。
(1)
100×7−1=699 →100番目の数は699

(2)
×7−1=1070
この式の
を逆算して、=(1070+1)÷7=153 →1070は153番目の数

最初のやり方より、こっちの方がスピーディーでしょう?

***
塾で習った解法だけにこだわり続けて、他の解法を考えて取り入れないなら、それはマジメかも知れないけど、とてもつまらない算数です。
塾ではあまり教えてくれないけど、こっちの方が速くて便利という話は他にもまだたくさんありますよ。
これからもこの講座では、そんな役に立つ話を続けていきたいと思います。楽しみに待っていてくださいね!

カーテンコール
「7倍して1を引く」という式は、もちろん上の問題の場合ですが、どんな等差数列においても必ず同じような式が作れます。7倍の7は公差の7、引いた1は公差と初めの数の差です。
また、等差数列の和を求める公式の理由は、次のように逆に並べた数列とセットで考えてください。
1 4 7 10 13 16 19 22 ←この等差数列の和は(1+22)×8÷2
22 19 16 13 10 7 4 1
上下の2段の合計はすべて(最初の数+終わりの数)になっていて、個数をかけると上下2段の合計になるから、最後に2で割って1段だけの合計を求めているのです。


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