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   みんなの算数講座    第8講座    展開図に浮き出る    高さ


お星さまと虹今回の第8講座は初めて立体の問題をテーマにします。タイトルにも書きましたが、
展開図に高さが存在している... この考え方を理解したとき、きっとあなたの頭は爽快感で満たされることでしょう。


問題を紹介する前に、立体の重要公式を一つ確認しておきます。
角すいや円すいの体積=底面積×高さ÷3

おそらく公式自体はご存知の方が多かったと思いますが、÷3の意味はおわかりでしょうか?
算数の範囲では下のような説明が有名です。「底面積と高さが等しいすいは体積が等しい」という前提に立っていますが、それを当たり前だと思ってもらえたら、十分納得できる説明だと思います。

解説図
すいの公式の÷3の理由〕
三角すいA
DEFABCFで、オレンジの文字で示した面を
底面とみれば、どちらも全体の三角柱の底面だから面積が等しく、
高さのADとCFも等しいから、三角すいADEFとABCFは
等しい体積です。
また、三角すい
ADEFと三角すいABEFで、赤い文字
示した面を底面とみれば、どちらも長方形ADEBの半分だから
面積が等しく、高さのEFは共通だから、 三角すいADEFと
ABEFも等しい体積です。
この2つの比較から、三角すいADEF、ABCF、ABEFは
すべて等しい体積であることがわかります。
つまり
(三角)すいの体積は、底面と高さが等しい(三角)柱の
体積の3分の1
といえます。



さて、今回は体積を求める問題なのですが、高さが見えにくいため、意外と手こずる人が多いのではないでしょうか。
もちろん高さを調べる方法があるのですが、初めてこの解き方を知る人にとっては、なんとも感動的な高さの発見といえるかもしれません。

では
問題です。

下の図のように、1辺の長さが12cmの正方形の台紙から、底辺12cm、高さ3cmの合同な二等辺三角形を正方形の各辺に沿って4枚切り落とし、残った部分を組み立てて正四角すいを作ります。この正四角すいの体積を求めなさい。※正四角すいの底面は正方形

解説図


展開図から体積を求めるなんて、すごく不思議な問題でしょう?
どうして平面で書かれている展開図に高さを知る根拠があるのか???

ではさっそく解説を始めましょう。
組み立てた正四角すいは下の図のようになります。
解説図


まず、底面積を求めましょう。底面積は問題図から簡単に求められます。

底面は正方形で、その対角線の長さは 12−3×2=12−6=6cm
正方形の面積=対角線×対角線÷2より、
6×6÷2=18cm2 これで底面積が求められました。
※正方形は一種のひし形だから、ひし形の面積の公式〔対角線×対角線÷2〕が使えます。

そして次に高さを考えることになります。
高さは上の見取り図に示したAOです。(Oは正方形の中心)

じつは、
見取り図の内部にある直角三角形ABOと合同な三角形が、問題の展開図の中に存在しているのです。

少しわかりにくいですか? もっとストレートに説明するなら、
見取り図の中にある直角三角形ABOは、台紙から切り取った二等辺三角形をちょうど半分に切った形なのです。

解説図〔理由〕
 台紙から切り取った二等辺三角形の半分PQRと
 見取り図の直角三角形ABOで、辺の長さを比べるとわかります。
 (左図参照)
 QR=BO=3cm
 (QRは問題の条件から3cm。また、
底面の正方形の対角線の長さは
  6cmでBOはその半分の3cmです)

 PQ=AB ←展開図を組み立てたことから当然です

 
2つの直角三角形は、斜辺(一番長い辺)を含めた2辺の長さが
 等しければ必ず合同です


さて、ということは?
はい、そうそう、正四角すいの高さ(AO)は正方形の1辺の長さのちょうど半分なのですね。
12÷2=6cm →正四角すいの高さ

これで体積を求めるための底面積と高さがそろいました。
初めに書いたように すいの体積は
底面積×高さ÷3だから、正四角すいの体積を18×6÷3=36cm2と求めることができます。

***
組み立てた正四角すいの内部にある直角三角形ABOが、台紙から切り取った二等辺三角形のちょうど半分になっている このことが高さを求めるためのポイントでした。
消化不良はよくありません。納得できるまでしっかりと読んで、今回の考え方をあなたの頭の栄養に変えてくださいね。

じゃあ今回はこのへんで! また次回の講座で一緒に算数を楽しみましょう!

カーテンコール
途中、÷3の理由で 「底面積と高さが等しいすいは体積が等しい」という前提に立てば…と書きましたが、そのことは体積という概念の定義の問題なので、あまり深く悩まないようにしてください。
ちなみに÷3の厳密な証明は、高校数学で勉強する積分の知識が必要です。算数では厳密な数式による説明をしませんが、さきの説明で十分理解していただけるのではないかと思っています。


テスト問題を改訂版にリニューアルしました。
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解答、解説は別ページです。問題のページからお進みください。

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