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   みんなの算数講座    第9講座    算数は数学を    超えている!?


お星さまと虹今回は有名な
道順問題の解説です。この説明を生徒たちにするとき、ボクはいまでも算数の知恵をつくづく実感します。式を立てるばかりが能ではない。なんともまぁオシャレな考え方です。


では問題です。

下の図のような道路網があります。
地点から地点まで、遠回りをせずに行く最短経路を考えます。
(1)全部で何通りの経路がありますか?
(2)途中、
地点を必ず通ることにすると、 経路は何通りありますか?
(3)
ST間が工事中で通ることができないとします。 経路は何通りありますか?
問題図

じつはこの問題、高校生の数学にも登場するんです。そのときは「同じものをふくむ順列」という考え方をすることになり、ある公式に基づいた式を立てて計算します。
もちろんそれも一つの方法ではあるのですが、今回解説するのは算数の専売特許ともいえる独特な解法です。
この解法を使えば、場合の数をくわしく知らない低学年の生徒でも、簡単に答えが出せてしまうことでしょう。さらに、高校数学の考え方だと、経路が複雑になったときに計算式が立てにくくなるのですが、今回の解法は経路の形が複雑になっても、いつも同じ方法で柔軟に対応できてしまうのです。

ではさっそく(1)から解説しますね。

(1)
解説図左の図を見てください。
それぞれの交差点に数字が書いてあります。
これらの数字は、
地点からその地点までの最短経路の数を示しています。たとえば、から真上方向の交差点や、から右方向の交差点へは、どこも直進する1通りしか経路がありません。※数字は各交差点をゴールとしたときのからの経路数です。

の近くに2と書いてある交差点がありますが、これは左側の1と下側の1を加えたものです。
つまり、
から2と書いてある交差点へ行く経路は、左からくる経路(1通り)と下からくる経路(1通り)を合わせて2通りです。

このように、各交差点の数字は、左側と下側の数字を合計することで次々に求めていくことができます。
からへ行く経路は全部で56通りが正解です。

(2)

解説図途中地点を必ず通る場合は、左の図のように、
〔スタート
から地点〕と〔地点からゴールB〕を別々に分けて考えます。

〔スタートから地点〕
10通り
地点からゴールB〕
 3通り

スタートから地点までの10通りに対し、地点からゴールまでがそれぞれ3通りずつあるから、途中で必ずを通る経路は10×3=30通りとなります。

参考…(1)の答えから(2)の答えを引くと、Pを通らずにA〜Bへ行く経路が求めらます(26通り)

(3)
解説図通行禁止区間がある場合は、左の図のようになります。

地点の数字に注目してください。4+1=5になっていません。これは間が通れないため、左側の地点の数字を加えていないからです。
地点の数字はTの真下の交差点と同じ1になります。
地点に行く経路は下からくる1通り以外に経路がない

あとは(1)と同じように考えて、
ST間が通れない場合、ゴールの地点へ行く経路は全部で44通りとなります。

***
算数が編み出した道順調べの問題。いかがでしたでしょうか。
教え子のコメントでね、高校に行って計算式による方法を習っても、やはりこの問題は算数が勝っていると言いますね。おそらくいまでも全国で大勢の中学受験OB・OGたちが、この解法を支持して使ってくれていることでしょう。
算数が数学を凌駕(りょうが)している!!!
そう考えると、なんだかちょっとうれしくなりますよね。


問題図この講座ではきれいな長方形で解説しましたが、
←こんな形でも全然OKですよ。
ではこれをテスト編での問題にしますから、みなさん
算数方式からまでの最短経路の数を求めてみてくださいね。

じゃあこれで第9講座を終わります。
ん?数学ではどうするんだって? じゃあカーテンコールに少しだけ書いておきましょう。

カーテンコール
高校数学では、(1)の問題を「右右右右右上上上」という8個の漢字を並べる順列として計算します。同じ漢字がふくまれているから単純に8×……×1(通り)ではありません。「右」の重複が5×……×1(通り)、「上」の重複が3×2×1(通り)あり、8×……×1を(5×……×1と3×2×1の積)で割ることになります。


テスト問題を改訂版にリニューアルしました。
右の まねき猫をクリック すると、第9講座のテスト問題があります。
解答、解説は別ページです。問題のページからお進みください。

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