 Ｚ１７  体積（円すい台）
左の図のように、大きな円すいから小さな円すいを切り取った立体があります。上下の円の半径がそれぞれ３cm、４cmで、高さが６cmのとき、この立体の体積は何cm3ですか？（円周率 3.14）
解答 232.36cm3
解説 大きな円すいを復元する図を書いてお読みください。
切り取った小さな円すいと、もともとの大きな円すいは相似で、相似比は底面の半径の比から３：４です。相似な立体の体積比は相似比の３乗で27：64になります。すると切り取ったあとに残されたプリン型の円すい台の体積は64−27＝37にあたります。
したがって切り取った小さな円すいの体積の37/27倍が求める円すい台の体積です。小さな円すいの高さは６cmの３倍で18cmです。（小さな円すいと大きな円すいの高さが３：４で、その差分の１が６cmだから）
求める体積は３×３×3.14×18×1/3×37/27＝232.36cm3です。
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Ｚ１６ 面積（相似）
 右の図で辺ＡＤと辺ＢＣと辺ＥＦは平行です。また、台形ＡＢＣＤの面積は三角形ＡＢＣの面積の１と2/3倍で、三角形ＡＥＦの面積は２と2/5cm2です。
辺ＡＢをＡの方に、辺ＣＤをＤの方にそれぞれまっすぐ延ばした線が交わる点をＧとするとき、三角形ＧＢＣの面積は何cm2ですか？
解答 45cm2
解説 題意に沿ってＧを用意した図を書いてお読みください。
台形ＡＢＣＤの面積が三角形ＡＢＣの面積の１と2/3倍という条件から、台形ＡＢＣＤ：三角形ＡＢＣ＝５：３です。すると三角形ＡＣＤ：三角形ＡＢＣ＝２：３とわかり、両者は高さの等しい三角形だから、面積の比と底辺の比が一致し、ＡＤ：ＢＣ＝２：３です。この比は三角形ＡＦＤと三角形ＣＦＢの相似比になっていて、ＡＦ：ＣＦ＝２：３です。
また、三角形ＡＥＦと三角形ＡＢＣも相似で、相似比はＡＦ：ＡＣ＝ＡＦ：(ＡＦ＋ＦＣ)＝２：(２＋３)＝２：５、面積比は相似比の２乗だから４：25です。問題の条件から三角形ＡＥＦ＝２と2/5cm2だから、三角形ＡＢＣ＝２と2/5×25/4＝15cm2と求められます。
さらに三角形ＧＡＤと三角形ＧＢＣも相似で、ＡＤ：ＢＣの２：３が相似比だからＧＡ：ＧＢも２：３です。するとＡＢがＧＢの1/3であることがわかり、三角形ＧＢＣと三角形ＡＢＣは高さが等しい三角形だから、三角形ＡＢＣの３倍が三角形ＧＢＣの面積です。解答は15×３＝45cm2です。
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Ｚ１５ 面積（切り取り）
正方形と直角三角形を組み合わせた図形を下の図のように一部を切り取ると、
アとイの部分の面積が等しくなりました。切り取った部分の面積は何cm2ですか？
解答 10cm2
解説 アの下にある台形をウとすれば、アとイが等しいことから、ア＋ウ＝イ＋ウ（直角三角形）です。
イ＋ウの直角三角形の面積は18×10÷２＝90cm2だから、ア＋ウの面積もそれと同じです。
もとの正方形の面積は10×10＝100cm2だから、切り取った部分の面積は100−90＝10cm2です。
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Ｚ１４ 面積比（平行移動）
三角形ＡＢＣを辺ＢＣの延長上に平行移動したとき、ア、イ、ウの面積比を簡単な整数で表しなさい。
解答 ５：４：５
解説 三角形ＡＢＣとＡ'Ｂ'Ｃ'は合同だから、同じイの部分を除いたという理由でアとウは同じ面積です。
三角形イと三角形ＡＢＣは相似で、相似比２：３から面積比は４：９です。三角形アの面積は９−４＝５にあたり、
求める面積比は５：４：５です。※もちろん三角形イは三角形Ａ'Ｂ'Ｃ'とも相似で面積比は４：９です。
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Ｚ１３ 面積（直角二等辺三角形）
下の図のように直角二等辺三角形ＡＢＣの中に３つの直角二等辺三角形を作ります。
このとき緑色の線で囲んだ部分の面積は何cm2ですか？
解答 5.5cm2（５と1/2cm2）
解説 普通にいきましょうか。
直角二等辺三角形の面積は、正方形の面積の半分として求めます。
正方形の面積は〈対角線〉×〈対角線〉÷２だから、さらにその半分です。
求める面積
＝６×６÷２÷２−(３×３÷２÷２＋２×２÷２÷２＋１×１÷２÷２)
＝{６×６−(３×３＋２×２＋１×１)}÷２÷２
＝(36−14)÷２÷２＝5.5cm2
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Ｚ１２ 線分の長さ（相似）
下の図のように直角三角形ABCと直角三角形DCBの斜辺（直角と向き合う辺）の交点をEとして、
点EよりBCに垂直な線EFをひきます。このときEFの長さを求めなさい。
解答 2.4cm（２と2/5cm）
解説
三角形ＡＢＥと三角形ＣＤＥは相似で、相似比（ＡＢ：ＣＤ）は６：４→３：２です。
これはＢＥ：ＤＥの比にもなっています。
また三角形ＢＥＦと三角形ＢＤＣも相似で、相似比はＢＥ：ＢＤ＝３：(３+２)＝３：５です。
これはＥＦ：ＤＣの比でもあるから、ＥＦ＝４cm×3/5＝2.4cmです。
※ＥＦの長さをＡＢの長さとＤＣの長さの調和平均といいます。
ＥＦ＝(ＡＢ×ＤＣ)÷(ＡＢ＋ＤＣ)という公式が知られています。
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Ｚ１１ 線分の長さ（合同と相似）
下の図のような長方形の紙があります。辺AB上に点Eをとり、CEを折り目にして折ると、点Bはちょうど辺AD上にきました。この点をFとするとAFの長さは２ｃｍになりました。BEの長さを求めなさい。
解答 5.2cm（５と1/5cm）
解説 三角形ＥＢＣとＥＦＣは合同だから、ＦＣ＝ＢＣ＝26cmです。また、角ＡＥＦ＋角ＡＦＥ、角ＡＦＥ＋角ＤＦＣはどちらも90°だから、角ＡＥＦと角ＤＦＣは等しく、このことから三角形ＡＥＦとＤＦＣは相似です。（直角をふくめて２つの角が等しいから）
するとＡＦ：ＤＣ＝ＥＦ：ＦＣが成り立ちます。２：10＝ＥＦ：26より、ＥＦ＝5.2ｃｍです。ＢＥはＥＦと等しいからこれが解答です。慶応義塾の問題でした。
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Ｚ１０ 円の回転と軌跡
左の図（問題ページ参照）はタテ15ｃｍ、横20ｃｍの長方形です。この長方形の内部を半径３ｃｍの円が長方形の辺に沿って１周したとき、円が通り過ぎる部分の面積は何ｃｍ2ですか？（円周率 3.14）
解答 268.26cm2
解説
左図のように中央の長方形と四隅の図形の部分が通過できません。
中央の長方形の面積は３×８＝24cm2、四隅の図形を１つにまとめた面積は〈１辺６cmの正方形〉−〈半径３cmの円〉＝６×６ｰ３×３×3.14＝7.74cm2です。
これらを全体の長方形から引いて、求める面積は15×20−(24＋7.74)＝300−31.74＝268.26cm2です。
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Ｚ０９ 面積（長方形とおうぎ形）
左の図は長方形ABCDに、ADおよびCDを半径とする四分円（円の1/4）を組み合わせたものです。いま、点AとEを結び、２点D、Eを通る直線が弧と交わる点をGとしたとき、赤い線で囲んだ図形AEGの面積は何ｃｍ2ですか？（円周率 3.14）
解答 49.12cm2
解説
〈おうぎ形ＤＧＡ〉＋〈三角形ＣＤＥ〉＋〈長方形〉−〈三角形ＡＢＥ〉を計算します。
８×８×3.14×1/8＋６×６×1/2＋６×８−14×６×1/2
＝８×3.14＋18＋48−42＝８×3.14＋24
＝25.12＋24＝49.12cm2 となります。
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Ｚ０８ 面積の比（正三角形と円）
左の図のように大きな正三角形ABCにちょうどぴったり入る円があり、その内側に円にちょうどぴったり入る小さな正三角形DEFがあります。
このとき、２つの正三角形ABCとDEFの面積の比を求めなさい。（円周率 3.14）
解答 ４：１
解説 小さい方の正三角形を、Ｅ（or Ｆ）がＡの真下にくるように回転させてみてください。小さい正三角形は大きい正三角形を４等分した大きさになっていることがわかるでしょう。
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Ｚ０７ 表面積（回転体）
左の図のような三角形を軸のまわりに１回転させてできる立体の表面積は何ｃｍ2ですか？（円周率 3.14）
解答 690.8ｃｍ2
解説 底面の半径が10ｃｍ、母線の長さが12ｃｍの円すいができます。
円すいの表面積は〈底面積〉＋〈側面積〉です。
〈底面積〉10×10×3.14
〈側面積〉12×10×3.14 ←母線×底面の半径×3.14
これらを合計して求める表面積は（10×10＋12×10）×3.14＝220×3.14＝690.8ｃｍ2です。
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Ｚ０６ 体積（三角柱の切断）
 左の図は角ＡＢＣが90°、ＡＢが３ｃｍ、ＢＣが４ｃｍの三角形ＡＢＣを底面とする三角柱を３点Ｄ、Ｅ、Ｆを通る平面で斜めに切った立体です。
この立体の体積は何ｃｍ3ですか？
解答 24ｃｍ3
解説
このような立体を断頭三角柱といいます。断頭三角柱の体積は、〈底面積〉×〈高さの平均〉で求めます。
この場合は三角形ＡＢＣを底面とみて、ＡＤ、ＢＥ、ＣＦの平均を高さの平均と考えます。
三角形ＡＢＣの面積は３×４×1/2＝６ｃｍ2
ＡＤ、ＢＥ、ＣＦの平均は（４＋２＋６）÷３＝４ｃｍです。したがって求める体積は６×４＝24ｃｍ3です。
※断頭三角柱の公式の理由は長くなるのでここでは触れませんが、イメージとしては「図の側面の台形ＤＡＢＥの面積が、底辺をＡＢ（３ｃｍ）、高さをＤＡ（４ｃｍ）とＥＢ（２ｃｍ）の平均（３ｃｍ）とみることで求められる」→これを３次元に置きかえたイメージです。
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Ｚ０５ 角度
左の図のように三角形ＡＢＣで、辺ＢＣ上に点Ｄを、ＡＤ上に点Ｅを角ＢＡＤと角ＣＡＤが等しく、角ＡＣＥと角ＤＣＥが等しくなるようにとります。角ＡＢＣが50°のとき、角ＣＥＤは何度ですか？
解答 65°
解説
全体の三角形ABCについて角Bが50°だから角Aと角Cの合計、つまり○２コと×２コの合計は180−50＝130°です。すると○１コと×１コの合計は130÷２＝65°です。角CEDは三角形AECの外角だから○と×の合計と等しくなります。
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Ｚ０４ 図形の構成
 面積５ｃｍ2の正方形のタイルを左の図のようにタテ４個、横４個並べました。
図の中にある大小すべての正方形の面積の和は何ｃｍ2ですか？
解答 520ｃｍ2
解説
一番小さい正方形の１辺を１とすると、
１辺１の正方形が16個→１×１×16＝16マス分
１辺２の正方形が９個→２×２×９＝36マス分
１辺３の正方形が４個→３×３×４＝36マス分
１辺４の正方形が１個→４×４×１＝16マス分 以上全部で30個の正方形があり、のべ104マスを使用します。１マスの面積は５ｃｍ2だから、求める解答は５×104＝520ｃｍ2です。
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Ｚ０３ 面積の比（相似）
左の図（問題ページ参照）の正方形のＡＢＣＤで、Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓは各辺を３等分した点です。線分ＡＱ、ＢＲ、ＣＳ、ＤＰを引いたとき、中央にできる正方形の面積は、正方形ＡＢＣＤの面積の何倍ですか？
解答 2/5倍（0.4倍）
解説
△ＡＰＷと△ＡＢＸは相似比１：３の相似形です。相似形の面積は相似比の２乗だから△ＡＰＷ：△ＡＢＸは１：９です。また、△ＡＰＷと△ＢＱＸは合同で、△ＡＢＱの面積は10です。
正方形ＡＢＣＤを点線のように３等分すると、△ＡＢＱは３分の１のさらに半分だから正方形ＡＢＣＤの６分の１です。したがって正方形ＡＢＣＤの面積は60です。また、中央にある正方形ＷＸＹＺの面積は正方形ＡＢＣＤから△ＡＢＸを４つ分引くことで求められます（△ＡＢＸ、△ＢＣＹ、△ＣＤＺ、△ＤＡＷは合同）。これらのことから正方形ＷＸＹＺの面積は60−９×４＝24であり、解答は24÷60＝2/5倍です。
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Ｚ０２ 面積（ひもの先端が動く）
 左の図（問題ページ参照）のような長方形の１つの頂点にひもがついています。ひもの長さは30cmです。ひもの先端が動ける部分の面積を求めなさい。ただし、ひもは長方形の内部には入れません。（円周率 3.14）
解答 2374.625cm2
解説
ひもの動く部分は、左の図のようにおうぎ形が３つになります。
(30×30×3/4＋15×15×1/4＋10×10×1/4)×3.14
＝(2700/4＋225/4＋100/4)×3.14＝3025/4×3.14＝756.25×3.14
＝2374.625cm2
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Ｚ０１ 角度
左の図は直角二等辺三角形ＡＢＣと正三角形ＡＣＤを組み合わせた図形です。角アの大きさは何度ですか？
解答 75°
解説 ＡＣ＝ＢＣ（直角二等辺三角形）ＡＣ＝ＣＤ（正三角形）より、ＢＣ＝ＣＤで、三角形ＢＣＤは二等辺三角形です。角ＢＣＤ＝90＋60＝150°だから、角ＣＢＤ＝（180−150）÷２＝15°です。左下の三角形に注目して、角ア＝180−（15＋90）＝75°です。
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