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   みんなの算数講座    第101講座    正六角形の       分割レクチャー

お星さまと虹前回で大台の100講座に到達しましたから、今回の講座からは改めて初心にかえってスタートさせよう!という気分です。第101講座では正六角形の分割について考えてみたいと思います。


正六角形。
←このような図形です。6つの辺の長さ、6つの角の大きさがそれぞれすべて等しくなっています。六角形の内角の総和は720°だから、1つの内角の大きさは720÷6=120°です。
*多角形の性質については第31講座をご確認ください。



本題に入る前に少し雑談を…。
正六角形を平面上に並べていくと、右のイラストのように過不足なく平面をうめつくすことができます。きれいですねー。
少し難しい言葉ですがこのような性質も持った図形のことを
平面充填形(へいめんじゅうてんけい)と言います。
それが立体的に発展した場合には
ハニカム構造という言葉も使われますよ。ボクは、あの同じ形が無数に密集した形を見るのが苦手なので、このページに写真を貼るのは精神衛生上(笑)遠慮しますが、蜂(ハチ)の巣の各部屋がハニカム構造になっていることはよく知られています。


ではここから本題!
算数の図形を勉強する上で知っておくと便利な正六角形の分割をいくつか解説していきます。
その際、正六角形全体の面積を
60と決めて解説したいと思います。他のどんな数に決めても同じなのですが、ボクの経験では正六角形の解説は60がうまくいくのです。60という数は2,3,4,5,6のどれでも割り切れる扱いやすい数だからです。

じゃあ簡単なところから。これはまっぷたつですから30と30当たり前ですね。左右どちらの四角形(台形)も全体の1/2(←30/60)です。

次。
この6等分も難しくないですね。正六角形はこのように3本の対角線によって、6つの合同な正三角形に分割することができます。どの正三角形も全体からみると1/6(←10/60)です。

その次。
これも6等分は6等分なのですが、1つ前とは別の分割です。カドを切り取ったような二等辺三角形が外側に3つ。内側にもそれと合同な二等辺三角形が3つあります。どの二等辺三角形も合同ですから、すべて全体からみると1/6(←10/60)です。
*中央で3つの三角形が交わっている点は、正六角形の3本の対角線の交点です。

そのまた次。
今度はいままでの分割から何本かの線を消した分割です。左側は正六角形の内部に長方形が現れるパターン。長方形の面積は全体からみると2/3(←40/60)です。
まん中の図はその長方形を半分にしたパターン。中央に2つの直角三角形が現れ、直角三角形の面積は全体からみると1/3(←20/60)です。
右側は正六角形の内部にさきほどよりひと回り大きな正三角形を残すパターン。この正三角形の面積は全体からみると1/2(←30/60)です。さきほどの小さな正三角形の3倍の面積なんですね。

おおむねこのあたりまでが基本の分割です。実際に出題される正六角形の分割問題にはもう少しややこしいものもあります。それは分割する線分(上の各図の
ブルーの線)の一端または両端を、正六角形の頂点ではなく、辺上の特定の点に設置する場合です。

ではここでいつものように例題を出題してさらに解説を進めたいと思います。
これです↓


次の各問いに答えてください。
青い点は辺のまん中の点、赤い点は辺を3等分した点です。
(1)下の左図で、三角形アの面積は正六角形全体の何分のいくつですか?
(2)下の右図で、図形イと図形ウの面積の比は何対何ですか?


アドバイス
この問題では、正六角形全体の面積を60とすると整数で表せなくなる箇所が出てきます。正六角形全体の面積には
180などをお勧めします。こうした要領のよい数のチョイスもこの問題の面白いところですね。もっとも分数計算をいとわないのであれば、数のチョイスに制約はありませんが…。

(1)

講座の前半で解説したように、△ABCの面積は正六角形の面積の1/6です。アドバイスに書いたように正六角形の面積を180とすると、△ABCの面積は180×1/6=30です。
△PBC(ァ)と△ABCは高さが等しい三角形だから、面積の比は底辺の比と等しく2:3です。
△PBC(ァ)の面積=△ABC×2/3=
30×2/3=20
これは正六角形全体からみると
20/1801/9にあたります。
*下線部については第23講座助け舟などに解説があります

(2)
正六角形の面積を
180とすると、(イの面積)+(ウの面積)=180だから、先にウの面積を考え、イの面積はあとで引き算して求めます。

ウの面積は△FDEと△SDFと△SRDの面積の合計です。順番に考えていきます。
△FDE→正六角形の1/6で
30です。…@

△SDF→△ADFの1/2です。
[理由/(1)下線部参照。底辺の比SF:AFが1:2]
△ADFが正六角形の1/3で
60だから△SDF=60×1/2=30です。…A

△SRD→△SCDの1/3です。[理由/(1)下線部参照。底辺比RD:CDが1:3]
△SCDは△ACDと面積が等しいから[理由/底辺と高さが等しい]、△SRDは△ACDと比べても1/3です。△ACDは正六角形の1/3で60だから、△SRD=60×1/3=20です。…B

@,A,Bを合計して、(ウの面積)=△FDE+△SDF+△SRD=
30302080
イの面積は全体の正六角形からウの面積を引いて、
18080100

よって求める解答(イの面積):(ウの面積)は
100:805:4です。

***
今回の正六角形の分割レクチャー、いかがでしたか?
ボクが工夫したのは、正六角形の面積を1とせず、前半では60、例題では180とした点です。
途中のアドバイスでも触れましたが、こうした数の選び方が算数の自由度ですよ。もちろん教科書どおり「全体を1とする」方針もあると思いますが、全体を1にすれば各所の面積はどこも分数になり、それを分割すれば分数を分割することになり、その結果「面積を表す分数」と「割合を表す分数」が混在し始め、混乱してしまうケースも少なくないだろうと思います。
ならばせめて面積の方は整数で統一しておいたらラクになると思うんですよね。みなさんも正六角形の分割問題に触れたら、ぜひ60や180などご自分で要領のよい数を準備して考えてみてください。

最後に本編に書けなかった分割をオマケ。
正六角形は右のようにきれいに18等分することができます。
18個の三角形の内訳は、正三角形が12個と二等辺三角形が6個ですが、どの三角形もすべて面積が等しいです。中央にピンク色で囲んだ正六角形は、18個中6個の三角形で構成されているから、全体の正六角形からみれば6/18=1/3の大きさですね。この問題よく見かけますよ。


では第101講座終了です。しかしよくここまで書いてきたなー。もしこれから同じ数だけ書くと202講座になりますねー。いや冷静に考えたら気が遠くなってきました(笑)

ダンケ シェーン!今回はドイツのありがとうでお別れです。また次講座で!


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