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   みんなの算数講座    第102講座    表面積は増える    のよね(前編)

お星さまと虹100講座を超えたところで、しばらく新講座発表が止まっていましたが、ずっと止めてるわけにもいきません。今回から2講座連続で立方体に穴をあける問題をレクチャーしたいと思います。今回は基本的な前編です。


前編ではシンプルな穴あけ問題を紹介しますね。後編では複雑な穴あけ問題に話を広げていこうと思いますから、まずは前編の基本をしっかりと抑えてください。

前後編通じて、1辺の長さが1cmの小立方体を125個(=5×5×5)積み重ねた大きな立方体を題材にします。え〜と小立方体どうしは接着していて、簡単には崩れないイメージで捉えてください。さっそく図版を作りましたのでご覧ください。



このような立方体が本講座の基本題材図です。以下、1個1個の立方体を「小立方体」、125個で構成される全体の立方体を「大立方体」と呼ぶことにしますね。

今回からの2講座では、この大立方体に対して、指定されたある面から、反対側の面に貫通するような穴をあけ、残された立体について体積と表面積を求める問題について解説します。冒頭にも書きましたが、前編の今回は基本的な設定の問題です↓


下の図のように、1辺の長さが1cmの小立方体を125個積み重ねた大立方体があります。
この大立方体について、
印をつけた正方形の面を押し込むように、反対側の面(底面)まで貫通する直方体の穴をあけます。


残された立体について
(1)体積は何cm3ですか?
(2)表面積は何cm2ですか?


(1)

1方向だけからのくり抜きだから、体積はすごく簡単ですよ。
印の面1枚からの穴あけで5個の小立方体がなくなることになり、印は5ヶ所だから、全部で5×5=25個の小立方体がなくなります。
残された立体の体積は125−25=
100cm3です。

(2)
表面積は体積ほど簡単ではありません。

穴をあけて立体をくり抜くと、体積は確実に減るのですが、表面積は減るとばかりは限らないのです。

表面積というのは「その立体を水の中に沈めたときにぬれる部分すべての面積」ですから、穴のくり抜き方にもよるのですが、むしろくり抜いたことで表面積は増えてしまうケースが多いです。

くり抜き問題では表面積は増える(ことが多い)!
*必ず増えるというわけでもありません。穴をあけることで失われる面と、穴をあけることで新たに生まれる面の大小関係によります。実際の算数の問題では増えるケースがほとんどでしょう。最終のカーテンコールもお読みください。


(2)の問題も例外ではなく、表面積は穴をあける前より増えることになります。

@穴をあけることで減る表面積
印の正方形の面が上面で5面、底面でも同じように5面、合計10面の10cm2が穴をあけたことによって減る表面積です。→穴をあけると入り口と出口では表面積が減る!

A穴をあけることで増える表面積
「穴をあける=トンネルを掘る」というイメージでお考えください。トンネルを掘れば、トンネルの床や天井、側面の壁などに新しく面が生まれますよね?
この問題は比較的シンプルな1方向からの穴あけだから、床や天井は現れず、側面の壁ができるだけだから、さほど苦労せずに増える分の表面積を求めることができるでしょう。

穴を上からのぞくと下の図のような形になっています。

この十字架のような形を底面とする高さ5cmの柱体が穴(トンネル)の姿ですね。
穴のまわりを
オレンジ色にしてみましたが、このオレンジ色の部分が上から下までつながるような形(長方形)で側面の壁が作られることになりますね。その側面の面積が増える分の表面積です。
オレンジの辺1本に対して、その下に5cm2の長方形(正方形5枚分)の面積が増え、オレンジの辺は全部で12本あるから、5×12=60cm2が増える表面積の合計です。
→穴をあけると穴の側面の部分(壁)で表面積が増える!

穴をあける前の大立方体の表面積は5×5×6=150cm2だから、
ここから@を引いてAを加え、
求める解答は150−10+60=
200cm2となります。

***
今回は穴あけ問題の基本講座でした。難しくなかったと思います。
次回の後編ではあける穴が1方向からだけではなく、上、手前、横の3方向といったタイプの応用編を解説しますね。
3方向から穴をあけますとね、大立方体の内部で穴と穴が衝突し、体積ではその分のダブりを考慮しなくてはなりませんし、表面積では壁以外に天井や床も現れ、ふきぬけになっている部分では1方向のときにあった面が消えてしまったりしますし、けっこうややこしい話になります。ややこしいのをスパッと気持ちよく納得させちゃう名案の解説があるんですけどね。楽しみにしていてください。

では次回後編のアップまで、ひとまず今回の基本編を100%間違いない理解にしておいてください。今回が大丈夫なら次回もきっと話についてきてもらえると思います。

エフハリスト!今回はギリシャのありがとうでお別れです。また次講座で!

カーテンコール

全体の形が立方体であれば、貫通させた穴によって「減る面積>増える面積」にはできないから、表面積が減ることはないでしょうね。もし表面積が減るとしたら、全体が背の低い直方体のような場合でしょう。それなら入り口と出口で失われる面が、新たに生まれる壁の面積を上回る数値設定も可能でしょう。まぁですが本文にも書きましたように、受験算数の問題では100%増えますね。減った問題を見た経験はありません(笑)

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