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   みんなの算数講座    第78講座    2より5が大切ね


お星さまと虹今回の第78講座は、みんなの算数講座が〈雪だるまバージョン〉に変わってからの新作です。2より5が大切という不思議な題名をつけてみました。どうぞお楽しみください。


こんな整数問題がよくあります。

1から100までの整数をすべてかけ算してできる整数をPとします。
(1)整数Pは一の位から何個の0が並んでいますか?
(2)整数Pは12で何回割り切れますか?


P=1×2×3×………×98×99×100

まさかPという整数の実物をズバリ特定するわけにはいきません。
エクセルか何かの計算ソフトを使って試みれば、もしかしたら実物を表示してくれるかもしれませんが、
(私はやっていません…) おそらくパソコンのモニターに、左から右までギッシリと数字が並び、しかもそれが何段か続くような大きな大きな整数でしょう。
まぁパソコンに頼めばともかくとして、人間がテストの時間内に実物を突き止めることが不可能なことは、私が神さまに誓(ちか)って保証します(笑)

ではどうすればよいか?

実物を特定することはあきらめ、
Pという整数が、どのような素数のかけ算によってできているのか?
それも、何もかもすべて調べるのではなく、問題を解くために必要な部分に限って調べるようにすればよいのです。

(1)
整数の
一の位から並ぶ0の個数は、
その整数が10で何回割れるか?
ということです。(もちろん整数の範囲で)

たとえば46500という整数は10で
2回割れますね? 46500÷10=4650 4650÷10=465
だから46500という整数は一の位から
2個の0が並んでいるのです。

そこで整数Pを作るもとになっている100個の
整数(1〜100)のなかに、10を組み立てる要素がどれくらいふくまれているかを考えます。

ここで大切なのは10という整数は素数ではなく、
10=
× つまり
10という整数はという素数1個と、という素数1個をかけることによって作ることができます。

たとえば、6(
×3)の持っていると、15(3×)の持っている5がかけ算されれば10という整数が1個作れます。

このように10という整数は
の共同作品なわけですが、ズバリ言いますと、(1)ではについてはまったく無視してしまってかまわないのです!

なぜか?
それは、2の個数は5の個数よりたくさんあるから、いくらたくさん2があっても、5の個数がそれに追いつかなければ10を作ることができないからです。
⇒少ない方の5の個数が大切
※あまいお団子が30本、からいお団子が20本なら、あまからお団子セットは20組しかできません。あまいお団子10本は用なし。そんな感覚です。

では1〜100の整数のなかに、5という素数が何個ふくまれているかを考えてみましょう。

@まず単純に5の倍数の個数を求めると 100÷5=20個です。

Aところが、25(=5×5)の倍数には、1つの整数のなかに5が2個ずつふくまれているから、その分を追加する必要があります。
1〜100の整数のなかの25の倍数の個数は 100÷25=4個です。

@+Aより、1〜100の整数のなかにふくまれる5の個数は24個となります。
※Aで追加したのは2個めの5の個数です。1個めの5の個数は@に入っています。
※1〜100の範囲には5を3個ふくむ整数はありません(5×5×5=125)


いま求めた24個がそのまま(1)の答えです。整数Pは一の位から
24個の0が並んでいます。

(2)
今度は12で割り切れる回数が聞かれています。
12=
××だから、12で1回割り切れるためには、が2個とが1個必要です。

では(1)と同じように、1〜100の整数に含まれる
の個数との個数を計算します。

の個数〉
@2の倍数の個数を求めると 100÷2=50個です。

A4(=2×2)の倍数には、2が2個ずつふくまれているから、
その追加分を考えます。100÷4=25個です。

B8(=2×2×2)の倍数には、2が3個ずつふくまれているから、
その追加分を考えます。100÷8=12あまり4より12個です。

C16(=2×2×2×2)の倍数には、2が4個ずつふくまれているから、
その追加分を考えます。100÷16=6あまり4より6個です。

D32(=2×2×2×2×2)の倍数には、2が5個ずつふくまれているから、
その追加分を考えます。100÷32=3あまり4より3個です。

E64(=2×2×2×2×2×2)の倍数には、2が6個ずつふくまれているから、
その追加分を考えます。100÷64=1あまり36より1個です。

@〜Eを合計して、1〜100のなかにふくまれる2の個数は97個です。

の個数〉
@3の倍数の個数を求めると 100÷3=33あまり1より33個です。

A9(=3×3)の倍数には、3が2個ずつふくまれているから、
その追加分を考えます。100÷9=11あまり1より11個です。

B27(=3×3×3)の倍数には、3が3個ずつふくまれているから、
その追加分を考えます。100÷27=3あまり19より3個です。

C81(=3×3×3×3)の倍数には、3が4個ずつふくまれているから、
その追加分を考えます。100÷81=1あまり19より1個です。

@〜Cを合計して、1〜100のなかにふくまれる3の個数は48個です。

さて(2)の解答ですが、12で割り切れるためにはが2個とが1個必要でした。
は97個ありますが、1回割り切れるために2個ずつ必要だから、97÷2=48あまり1より、48回割り切れる分のがあります。

これは偶然の一致なのですが、
(必ずしも一致はしません)は48個あるから、やはり48回割り切れる分のがあります。

したがって整数Pが12で割り切れる回数は
48回ということになります。

この設問では、偶然どちらも48回ということで一致したのですが、もし回数に差がある場合はもちろん少ないほうが解答です。さっき小さな字で書いたあまからお団子セットの理由ですね。

***
今回の講座、どうでしたか?
一の位から並ぶ0の個数は、素数5の個数を調べればよい。わかったかな?

また、(2)の解説に書きましたが、1〜100までの整数に含まれる2の個数が、3の個数のおおよそ2倍あるというのは、なかなかおもしろい事実ですね。
2と3は唯一となり合ったご近所の素数なのですが、それでこんなに差があるの??? 解説を書きながらボクもそう感じました。小さな発見だけど数と親しむのも楽しいものですね。
97個 48個 24個 ??? 11???
100までに含まれる個数と???を記念に残して今回の講座を終わります。

また次回、ボクと一緒に算数の世界を楽しみましょう!


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