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   みんなの算数講座    第80講座    ユークリッドの    互除法

お星さまと虹みんなの算数講座、いよいよ節目の第80講座に到達です。だいぶ書いてきましたね〜。節目の日には長方形を正方形で切っていくユークリッドの互除法(ごじょほう)をお話ししましょう。


このテーマは長方形からスタートします。
たとえばタテ10cm、横15cmにしましょう。その長方形の中に
短い辺を1辺とする正方形を書きます。左はじに寄せて
図を書きましょうか。こんな感じです。

解説図

すると当たり前ですが、右にタテ10cm、横5cmの長方形ができます。その長方形の中で、初めと同じように
短い辺を1辺とする正方形を書きます。

解説図

こうなりますよね?
初めの長方形がすべてきれいに正方形に分割されました。

こうして正方形だけに分割できたときね
最後に作った正方形の1辺の長さが、初めの長方形のタテと横の長さの最大公約数
になっています。10と15の最大公約数は5。間違いないですね。

ではもう1つ試してみますよ。
初めの長方形をタテ84cm、横120cmにしましょうか。

解説図

まず1辺84cmの正方形を1個収め、残る長方形の中に1辺36cmの正方形を2個収め、最後に1辺12cmの正方形を3個収めると、初めの長方形が正方形だけに分割できます。
最後に収めた正方形の1辺は12cmで、これは初めの長方形のタテの長さ(84)と横の長さ(120)の最大公約数です。また間違いなかったね。

で、これがどうしたかといいますと、いま上で説明した2問は、比較的わかりやすい数値だから、別に普通に計算しても最大公約数はわかるわけですが、

たとえばみなさん 689と1007の最大公約数 思いつきますか?

ちょっと難しいでしょう?
じつはそんなときにいまの考え方がすごく重宝なのです。数値が汚いからちょっと図版は作りませんが 
許して!
タテ689cm、横1007cmの長方形で、いまと同じことを考えると…

ア)まず1辺の長さが689cmの正方形が1個収まります。
 1007÷
689=1個あまり318cm
イ)次は〈689cm×318cm〉の長方形の中に、1辺の長さが318cmの正方形が2個収まります。
 
689÷318=2個あまり53cm
ウ)次は〈318cm×53cm〉の長方形の中に、1辺の長さが318cmの正方形が6個収まります。
 
318÷53=6個
ここで初めの長方形が正方形だけに分割されるから、初めの長方形のタテの長さ(689)と横の長さ(1007)の最大公約数は、最後に収めた正方形の1辺、つまり53とわかります。

ややこしいかな? まとめましょう。

最大公約数が簡単に判断できない2つの整数は、
大きいほうを小さいほうで割り、以下、
〈前の式の割る数〉を〈前の式のあまり〉で割ることを繰り返すと、
割り切れたときの割る数が最大公約数とわかります。

一生懸命説明しました。汗が出てきましたヨ(笑) でも理解してもらえたでしょうか?

今回のように、長方形に正方形を並べていく発想で最大公約数を求める方法のことを
ユークリッドの互除法と呼んでいます。
先日教え子が志望校の学校説明会に行ったとき、算数担当の先生がこの問題を生徒父兄に配ったのだそうです。それを見せてもらいましてね。あ、これは講座に書かなくちゃと思いました。
その学校名は伏(ふ)せますが、そうやって説明会に出てきたということは入試の題材になっても全然不思議はありませんねぇ。
みなさん、ユークリッドの互除法 覚えておいてくださいね。
記憶の隅でいいから…

では節目の第80講座はこれで終了です。
次のテーマは
第100講座いつ来るか???ですかね。あと20個か〜。大変だなあ。
ではまた次の講座でお目にかかりましょう! さようなら。


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