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   みんなの算数講座    第85講座    等しいあまり問題    オーディション

お星さまと虹よく出る問題ですよ。何個かの整数を同じ数で割ったときに、あまりが等しくなるというのです。解いていく途中にオーディションがあり、最終オーディションを通過した整数が解答になります。


なるべく、時間が経過すると古くなる話は書かないようにしているのですが、たまには.....
AKB総選挙の7万人観衆にはビックリ仰天ですね。AKBが好きな方も普通の方も嫌いな方もいらっしゃるでしょうけど、やはりこれだけ時代というものを制圧してしまうと、これはもういろいろな意味で無視はできない存在ですよね。秋元康さんが有能というのも確かでしょうけど、それだけのはずがないです。スターに憧れる一人ひとりの女の子たちの猛烈なパワーが時代を味方につけて日本をまるごと吸収してしまった!山口百恵さんもピンクレディーもキャンディーズも松田聖子さんもここまでのパワーはなかったと思います。ボクはそんなふうに思って、すでに尊敬の気持ちを彼女たちに持っています。ちなみに以前は前田敦子さんのファンでしたが、今は特定の誰かのファンはしていません(笑)
写真モデルプレス


では得意の雑談終了で今回のお題。いろいろな学校でよ〜く出ますからよ〜く読んでください。AKBの話が単なる雑談でない秘密が隠されています!

3つの整数128、200、236をある整数で割ると、あまりが等しくなります。
ある整数はいくつですか?すべて答えてください。

これはねえ、式なんか作ってみると次のような感じになるんですが、わからないところが多すぎて、式だけで何かをつかむのは難しいです。
128÷□=
あまり△
200÷□=
あまり△
236÷□=
あまり△

ね?わからないところだらけでしょう?
じゃあどうするかと言いますと、線分図を用意するのが名案なんです。さっそく線分図を発表しますよ。


線分図はこんなふうに書きます。
まず割ったときに等しくなるあまりを線分図の左側でそろえます。
青線のところです。

すると残った
オレンジ線のところは、あまりがなくなったわけだから□で割ると割り切れることになりますね。
しかし残念ながら
オレンジ線の長さを求めることはまだできないです。

そこで注目するのが
緑線です。オレンジ線が□で割り切れるなら、オレンジ線とオレンジ線の差も□で割り切れるはずですよね。
※たとえば16も48も8で割り切れます。その差の(48−16=)32も8で割り切れます。

オレンジ線とちがい、緑線の長さは簡単に計算することができます。
200−128=72と236−200=36です。

一度整理します。
問題で求めたい整数の□は、緑線の72と36を両方とも割り切れる数です。つまり72と36の公約数ですね。ここが第一次オーディション。

公約数とは最大公約数の約数すべてです。
72と36の最大公約数は36だから、割る数の□として第一次オーディションを通過する整数は、
36の約数 1、2、3、4、6、9、12、18、36です。

8個の整数が第一次オーディションを通過しましたが、これらがすべて答えになるわけではありません。 なぜか?

それは128や200や236を割ったときに、
割り切れてしまう数を除外しなくてはならないからです。ここが最終オーディション。

まず1と2は確実に落選です。128÷1、128÷2 どちらも割り切れてしまいます。3つの整数のうち、一つでも割り切れたら落選だから、他を割るまでもないでしょう。(200も236も1と2では割り切れてしまいます)

3はセーフみたいですね。128、200、236のなかに3で割り切れる数はないです。するとね、6、9、12、18、36はいっぺんに最終オーディションを通過できます。なぜなら6、9、12、18、36はどれも3の倍数だから、3で割り切れなかった数が6、9、12、18、36で割り切れるはずがないからです。
※3で割れない数が3の倍数で割れたら大事件です(笑)

あとは4が残ってますね。4は悲しいですが落選です。128÷4は割り切れてしまうのですね。(200÷4 236÷4も割り切れてしまいます)

これで無事に最終オーディションも終了しました。AKBのように厳しいオーディションを乗り越えて
そうでもないか... 解答として生き残った整数は3、6、9、12、18、36です。

***
なんでまた今回の講座がAKBの写真から始まったかわからなかったでしょう?
理由は算数の問題にもオーディションが課される問題があるよ!ということだったのです。さんじゅつまんの授業はふざけているといったイヤな噂(うわさ)も聞いたことありますが、そう思いたい人は思っていてよいですけど、じゃああなたならどうやって苦手で嫌いな子、成績の伸びない子に算数を説明しますか?と聞きたくなりますね。
ボクは楽しければ楽しいほど脳ミソに染(し)み込むと信じてますから、誰が何を言おうとこれからもこうやって楽しく算数を伝えていくつもりです。
さんじゅつまん講座は楽しくてわかりやすい! そういう意見の人が一人ずつでも増えていくことを願っています。

上の問題がテストに出たら、AKBを思い出し、そしてオーディションを思いだし、落選する整数をふるい落とすことをしっかりやってくださいね。

ではまた次の講座で楽しい算数をお話ししたいと思います。今回はこれでさようなら!

カーテンコール

除外した1、2、4も「あまりが0」と考えれば問題の条件を大きく踏み外しているわけではありません。しかし常識的にフラットに考えて、あまり0のこと(割り切れたこと)をあまりが等しくなったとは言わないでしょう。実際の試験でも1、2、4を入れたらバッテン確実だと思います。

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