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   みんなの算数講座    第88講座    移項は ないけれど

お星さまと虹年内の90講座達成に向けてまた一歩前進します。ネタはいっくらでもあるんですが、一本書くのにけっこう時間がかかるんですよ。いゃいゃそんなこと言ってたら進まないですね。末広がりの縁起良い八十八講座は…


算数の文章題を解いていて、なんとか式は作れたんだけど、そこからの計算を進められずに正解を逃がしてしまったことはありませんか?
そうした式というのは単純な四則計算ではなくて、□を求めるような逆算で、しかも「=」の両側に□が分かれていたり、それぞれの□に何か別の数がかけ算されていたり、「+★」や「−★」といった尻尾(しっぽ)がついていたり…?

じつは中学校に入ると方程式を習うから、中学生以上の人ならそんな式の計算は楽勝なんだけど、悲しいかな算数では方程式が使えない…。それって算数のアキレス腱(アキレスけん=弱点のこと)でもあるんだけど、0より小さいマイナスの数が定義(取り決め)されていない算数では、方程式を使うことには何かと無理が多いんです。

せっかくだからお話すると、本当は0という数は “数の世界のド真ん中” なんです。0の片側が
1,2,3,4,5,…というみなさんがよく知っている “プラスの数の世界”で、0から反対の片側には-1,-2,-3,-4,-5,…という “マイナスの数の世界” が広がっています。
算数は後者の世界を隠して(ないことにして)勉強していますから、その隠れた世界を知らなくては解けない方程式の利用は、避(さ)けておいたほうが無難というわけです。

しかしね、確かに算数の一部の問題には、“マイナスの数の世界” を知っていたほうがよい問題もあります。でもそのときだけ
一番小さい数は0という算数の世界の大前提を崩して方程式を持ち出すわけにもいかない。
ここでも「なんでー???」が出そうですが、算数は具体的に存在する数を使って考える科目なので、ない(=0)ものより小さい??? 抽象的な
(←難しい言葉かな。辞書引いてネ) 数の世界は扱わないのです。そこをいじってしまうと算数は完全に数学に制圧されてしまうでしょうね。まー算数の先生としてカッコつけて語るなら、算数に “マイナスの数の世界” を取り込んだら、算数の一番算数らしい部分が台無しになっちゃうということでしょうか...算数は具体的な科目なのです!

あ〜あ〜前置きがどんどん長くなっていきます。さてそろそろ本題を書かないといけないですね。
では算数で方程式っぽい式を乗り切るにはどうしたらよいか?
今回はそんなテーマでございます。例題は次の4問にしますね。

あ、算数で未知数(わからない数)に□を使うのと@を使うのはまったく同じ意味ですよ。学校の算数では□がほとんどでしょう。塾の算数では@も出てくるんじゃない?
なぜ塾の算数では□のことを@と書くかというと、□は2倍すると□×2とか2×□と書くしかないでしょう?3倍なら□×3とか3×□。でも@にしておくと、2倍をA、3倍をBのようにシンプルな書き方ができるからです。例題では両方を混ぜてみました。

(1)と(2)は□にあてはまる数を求めてください。□には同じ数が入ります。
(3)と(4)は
@にあたる数を求めてください。

(1)9×□+8=3×□+32
(2)12×□−6=15×□−24
(3)
N−56=E+16
(4)84−
EA+28

(1)と(2)は□を未知数にしました。どちらも「=」の両側に□がありますね。

「移項して整理すれば簡単じゃないの?」

9×□−3×□=32−8 ですか?
はい、そうなんですけど、それはマイナスの数や移項(いこう)を習った中学生以上のやり方ですね。
上にも書きましたが、算数にはマイナスの数がないから、「=」を越えると符号が入れ替わるという移項は苦しいんです。「−」を「マイナス」ではなく「引く」と読ませて逆算風の説明をするのは不可能ではないですけど、たぶん教えていて汗がタラタラ出てきますね。

ではどう乗り越えるか???
ひとまずはこれがいいと思います。

(1)
 解説画像

こんな感じの線分図をササッと書きます。たぶん慣れてくれば10秒か15秒くらいで書けると思います。もちろん定規なんかいりませんからね。フリーハンドでサササです。
書いたらあとは矢印のところをジロジロみてもらいまして、
6×□=24がわかれば、□=24÷6=
でおしまいです。
説明を省略し過ぎ? だって□9個と□3個の差は□6個だし、32と8の差は24ですよね。難しいこと書いてないですよ。OK?
実際には図も書かなくて済む簡略法がお勧めなんですけど、それは最後に説明します。
じゃ次...

(2)
今度はねー、移項しようとすると“おいおいマイナスになっちゃうよー”という数字設定です。
12×□−15×□=−24+6 
!?!?!?
これを −3×□=−18 ⇒ □=(−18)÷(−3)=6
とやらせるのでは教わっている小学生の大混乱は必至です。
最初の式の両辺を交換して書くことによって、
15×□−24=12×□−6 としておけば、いくらか良心的ですが、
これも15×□−12×□=−6+24となりまして、下線の部分は算数にない式ですね。
え?移項した24を先に書かせて24−6なら大丈夫?
確かにそうですが、でもその説明はずいぶんと苦労が絶えませんねー。−6−24だったらどうにも進まなくなりますよ!そういうヘンな説明はやめましょう!

やはり基本はこうでしょうか。
 解説画像

このような線分図で確認してください。矢印の部分で3×□=18とわかれば、
あとは□=18÷3=
と簡単に□が求められると思います。

さて次...

(3)
今度は□ではなく@を求めます。最初にも書きましたが、算数では□と@はまったく同じ意味です。線分図はこのような感じになりますね。

 解説画像

もう解説は不要でしょうかね。矢印の部分から
H=72。したがって@=72÷9=が正解になります。

(4)
では最後。
EAを接近させたかったので、下の線を右側にズラして書くという工夫をしましたが、問題の式の 84−EA+28 がちゃんと表現できていると思います。
これさえ書ければ簡単。矢印に注目して
G=56。したがって@=56÷8=が正解です。

 解説画像

ここまではよいですか?
式を線分図で表すことで、「=」の両側に分かれている未知数がきれいに求められています。
さて、途中に書いたように、実際には線分図に頼らなくても簡単に解答することが可能です。
受験生のみなさんは時間短縮にもなりますから、次の方法を頭に入れておいてくださいね。

「=」の両側に分かれている未知数の求め方
[□、□×2、□×3、…]や[@、A、B、…]は「=」の左側にまとめ、
それ以外の単なる数は「=」の右側にまとめる。

 そのとき、「=」の左側と「=」の右側に分かれているものが、
 ・両方とも「+★」のときは ⇒ 
差でまとめる
 ・両方とも「−★」のときも ⇒ 
差でまとめる
 ・片方が「+★」片方が「−★」のときは ⇒ 
和でまとめる
 
注意 式の先頭にあるものは「+★」扱いです

では例題から2問選んでやってみます。

(1)9×□+8=3×□+32
 「=」の左側…9も3も式の先頭で「+★」扱い ⇒ 
差でまとめて6×□
 「=」の右側…+8と+32 ⇒ 
差でまとめて24
 6×□=24
 □=4

(4)84−EA+28
 「=」の左側…−
Eと式の先頭で+扱いのA ⇒ 和でまとめてG
 「=」の右側…式の先頭で+扱いの84と+28 ⇒ 
差でまとめて56
 
G=56
 
@=7

方程式がないんでね、算数の指導者はこうした工夫で「方程式みたいな式」を小学生に解かせています。かったるいなぁと思った方の意見は正直な意見だと思います。だけどこんな工夫もまた算数のおもしろさの一つなんですよ。その証拠にね、方程式をすっかり勉強した人が受験算数の文章題を解いても、決してスラスラなんて解けませんから。「策士策に溺れる(さくしさくにおぼれる)」みたいなケースも多いでしょう。算数を勉強している受験生のみなさん、安心してください。方程式を習ってないことが不利に影響することはすごーく少ないです。

最後におまけですが、式を作ったときに
3×(7×□+12)=5×(10×□−16) のようになった場合は、分配法則を使って一度(  )をほどく必要があります。(  )の中が和や差の式になっているときは、(  )の外の「3×」や「5×」は(  )の中の両方にかけることになります。
そう、3×7×□+3×12=5×10×□−5×16 ですね。
かけ算をまとめて 21×□+36=50×□−80
もう大丈夫ですね。

それではまた次回の講座までお待ちください。

カーテンコール 実際算数の文章題を解くとき、この講座で解説したような両辺に未知数がある式が現れることがあります。たとえば「現在両親の年令の和は90才、三人の子どもの年令の和は16才です。両親の年令の和が三人の子どもの年令の和の3倍になるのは何年後ですか?」のような問題などが典型的ですね。題意を満たすのが□年後または@年後として式を立ててお考えください。

※本文末解答 □=4
※カーテンコール解答 90+2×□=(16+3×□)×3または90+A=(16+B)×3 解答は6年後

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