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   みんなの算数講座    第92講座    知恵に感動!       ボーリング作戦

お星さまと虹今回の講座はちょっと珍しいネタかもしれません。高校で習う公式を算数で解決させてみよう!がテーマです。あの頃、公式の羅列(られつ)で話の意味がぼやけていた人も、これでスッキリするんじゃないかな???


[前置きの続き]えーと、これから書く内容は、中学受験の算数での出題例はありますけど 
あることはある…というレベルで、それも超難関校でしたし、実際この内容がダイレクトに使えることは可能性としては1%に満たないでしょう。100校の試験を受けても遭遇しない...?
しかしたとえダイレクトに使えなくても、考え方のナルホドのすごさは、きっと何かのときに他の問題で役に立つと思います。ぜひお読みいただき、算数の知恵に感動してやってください。

プロローグ ⇒ 整数を1からNまで加える

今回のメインテーマを説明する前に、このプロローグは大切です。
このプロローグは中学受験の算数では
ウルトラ重要公式ですよ。

整数を1からNまで加えた和=N×(N+1)÷2

この公式については、第73講座に書いた
等差数列の和で納得してもらえると思います。

1、2、3、4、5、………、N をすべて加えるときは、これを逆順に並べた数列と組み合わせてみるのがうまい考え方です。Nが混じっているとわかりにくいと思うので、1から10までの整数の和を例に説明してみます。

+2+3+4+5+6+7+8+9+10

  1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 
←知りたいのはこの和!
 
10、9、8、7、6、5、4、3、2、1  ←下に逆順の数列を書く

このようにして、上下の数列の各項を加えてみてください。すべて11になりますね?
11が何組できますか? そう、もちろん10組です。
では11を10倍して110。
しかしそれで終わりにしてしまうと、ダミーとして下にくっつけた数列まで含まれてしまうから、最後に110を「÷2」することで上だけの和になります。上下の数列は順番は逆ですが、まったく同じ内容だから「÷2」で問題ないですね。
1から10までの整数の和は110÷2=
55です。

このときの11は
10、つまり最初の1と最後の10の和です。
そして11にかける
10は「たしている数字の個数」ですが、この場合は最後の10と考えてもよいですね。
めでたし、めでたしです。最初に黄緑色のワクで囲んだ公式、納得していただけたと思います。
あ、もうひとこと、「1から10までの和=55」は算数を勉強する上では一般常識に近いものがありますから暗記してくださいね。
*ちなみに1からNまでの整数を加えた和のことを三角数といい、20番目までの三角数は次の通りです。
1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,136,153,171,190,200

(プロローグ終わり)

メインテーマ ⇒ 整数1からNをすべて2乗した1×1からN×Nまでを加える

ここからが今回のメインテーマです。
プロローグは単に1からNまでの和でしたが、今回は1からNをそれぞれ2回かけた(2乗した)積の和 1×1+2×2+3×3+4×4+5×5+………+N×N の答えを素早く知るための公式です。
まずは結果を発表しちゃいましょう。
こうなります↓

整数1からNをすべて2乗した1×1からN×Nまでの和
=N×(N+1)×(2×N+1)÷6


さすがに中学受験生の人で知っている人はすごく少ないと思いますが、ご家族にはご両親や高校生以上などのご兄弟で知っている人がいるかもしれませんね。
高校の数学で勉強する「2乗和」というけっこう有名な公式なんです。
Nがたくさん出てきて疲れちゃう???
まぁ勉強ですからちょっとNに10をあてはめてみましょうか。

10×(10+1)×(2×10+1)÷6=10×11×21÷6=
385

385と出ました。
はい、これが1(=1×1)、4(=2×2)、9(=3×3)、16(=4×4)、25(=5×5)、36(=6×6)、49(=7×7)、64(=8×8)、81(=9×9)、100(=10×10)をすべて加えた和なんです。お手元に電卓があったらぜひたし算してみてください。まずは納得しといてもらえると話がしやすい!!!

さぁでは2乗和の公式と算数で戦いますよ!
ややこしいことは一切書きませんから安心してお読みください。必ず理解してもらえます!

Nをいくつにしても同じ話なので、ここでは手ごろなところ+わけありでNを4に設定。
1×1+2×2+3×3+4×4でお話をします。



こんなふうにボーリングのピン状に数字を書いてみます。Nを4にした理由は、ボーリングという言葉が説明に使いたかったというのもあるんですよ。(笑)

さて上のボーリング図。1が1個、2が2個、3が3個、4が4個ですね?
ということはこの数字の総合計が[1×1+2×2+3×3+4×4の答え]です。
ピンとこない? 話が簡単すぎるとそういうこともありますよね。
だって1×1個+2×2個+3×3個+4×4個じゃないですか。 ピンときた? よかったー。

でね、1×1+2×2+3×3+4×4の式を普通に計算しちゃうんじゃ、ここでは全然意味がないんです。だって普通に計算するんじゃ1×1+2×2+3×3+4×4+………+100×100になったらオシマイじゃないですか。オシマイは冗談ですが、しっぽが100×100になったら、たぶん普通に計算してたら丸一日つぶれそうです。

そこでですねー、上のボーリング図のトップピン(1のピン)を左下にした図と右下にした図を作成します。ちょっと待っててください。いま愛用ソフトで作ってきます。

ただいまー。作ってきました。
ではさっきのといっしょに全部並べます。

    

では3つの図の一番上のピンをみてください。
左の図から順に 1 4 4 です。
その合計は9(=1+4+4)ですが、それってどこの位置にあるピンでも同じになりませんか?
たとえば一番下段の左から2番目のピン。
左の図から順に 4 2 3
合計するとやっぱり9です。
じつは3つの図で同じ位置あるピンは、どこの位置で加えてもすべて9なのです。

この9の意味は、最初の数の1と、最後の数の4を2個たした合計。
つまりワクで囲んだ公式の
(2×N+1) の部分ですね。

この9を10倍すれば(←ピンは10本だから)、上の3つのボーリング図の数字の総合計になります。9×10=90です。

しかしそのままでは3つの図の合計になってしまうから、90を3で割って、1つのボーリング図の数字の合計、つまり[1×1+2×2+3×3+4×4の答え]は90÷3=30です。

じゃあこれをいつでも使える公式として保存することを考えてみます。
@→3つのトップピン(一番上のピン)の合計は1+N+N、整理して
2×N+1です。
A1つの図でのピンの本数は、プロローグで説明した1からNまでの整数の和、すなわち
N×(N+1)÷2です。
B@とAをかけると、3つの図の総合計になるから、
÷3によって1つの図の合計にします。

以上@、A、Bをまとめると、
(2×N+1)×N×(N+1)÷2÷3
÷2÷3を÷6とし、項の長さをバランスよく配置して美しさを意識した公式に直すと、
1×1+2×2+3×3+4×4+5×5+………+N×N
=N×(N+1)×(2×N+1)÷6 です。

うん、高校でややこしい話をさんざん聞いてから習う公式が簡単に出せちゃいました!!!


***

どうでしたかー? 特に難しい話にはならなかったでしょう?
高校で習う「2乗和の公式」が、算数の範囲だけでしっかり説明できていると思います。4年生以上なら教えてあげたら伝わるんじゃないかな?
ボク自身も文献で学んだ内容だからオリジナルではありませんが、こうして先人たちのお知恵を紹介していても、感動を覚えるものがありますね〜。
冒頭にも書いたように、この公式がストレートに使える問題はめったに現れないと思いますが、この講座で説明したアイデア自体は、きっといつかどこかで問題を解く助けになるかと思います。あ、プロローグの方は算数で常用ですよ。あれは覚えないと算数選手失格です。

ん?3乗和?
3乗和でも4乗和でも公式はずっとありますよ。興味のある方は「ファウルハーバーの公式」でネットご検索ください。ここにも少しだけ載せておきましょうかね。ますます算数では使いませんけど、数の世界に興味を持ってもらえる楽しい話でしょうから...
[3乗和]N×N×(N+1)×(N+1)÷4

 *指数表記をするなら{N×(N+1)}2÷4
 *プロローグの「1からNまでの和の公式」自体が2乗されています。
[4乗和]N×(N+1)×(2N+1)×(3×N×N+3×N-1)÷30
 *前の方は2乗和とクリソツですね。

では今回の第92講座はここまでにしたいと思います。
前回から始めた次回予告! 次回の講座では
仕事算欠席者ありバージョンでもやりましょうかね。お楽しみに!


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