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 今回の講座では、初めての試みなのですが、このホームページのお客さんから寄せられた質問にこたえてみようと思います。とてもよくできている良問だと思います。みなさんもぜひいっしょに頭を動かしてみてください。東京都西東京市Ｉさん(中学受験生の親御さん)から寄せられた質問はこんな問題です。
すごくシンプルな問題ですね。見た感じはそんなに難しそうな気はしない…。同感? ところがこれがなかなか対処に困る問題なんですよ。問題がシンプルすぎちゃって、糸口をどこに見つけたらよいのか悩んでしまう人も少なくないと思います。  では自分のパソコン画面の基準ですが、解説の始まりをスクロールしなければ見えないように下に下げますから、試しにちょっと考えてみてください。すぐに解けた人は算数の力がすごいです！どうだったかな? 自信のある解答が準備できた人、いるかな? ではここから解説を始めますので、お読みになってみてください。整数Ａに当てはまる整数はけっこうたくさんありますよ。 まずですね、次のことが頭に入っていないと戦えない問題だったと思います。 公約数は、最大公約数の約数！ このことを簡単な例の20と30で説明してみると、20と30の最大公約数は10ですね？ そして10の約数は1,2,5,10です。この1,2,5,10が20と30の公約数なんです。過不足はありません。 公約数というと、ついつい最大公約数ばかり目がいってしまいがちですが(すだれ算の求め方が有名だから?) 最大公約数というのは公約数のなかで一番大きいものであって、ふつうに公約数といえば、最大公約数以外のものもありますから(たとえば１は必ず公約数)、上のデカ字のポイントはしっかりと抑えてください。 つまり、Ａと42に公約数が４つあるということは、 Ａと42の最大公約数が約数を４つ持つ整数ということです。 次にポイントになるのは、ここが意外にウッカリ盲点になってしまうようですが、 Ａと42の最大公約数は、42の約数に含まれているはずです。 このことは、次のような説明で大丈夫かな？ Ａと42の最大公約数とは ⇒Ａと42に共通する約数のなかで一番大きいもの ⇒ならば、Ａと42の最大公約数が42の約数に含まれるのは当たり前 納得？言われてみれば当たり前かもしれませんが、ここを気にしないと解答に近づけません。 ではここで、Ａと42の最大公約数をＰとしましょう。 上に書いたようにＰは42の約数に含まれるはずだから、Ｐの候補は次のとおりです。 Ｐの候補(42の約数)…１,２,3,６,７,14,21,42 Ｐは約数を４つ持つ整数だから、上の候補の中から約数を４つ持つ整数を探します。 該当するのは６と14と21ですね。 ＊６の約数(1,2,3,6) 14の約数(1,2,7,14) 21の約数(1,3,7,21) ＊１の約数は１だけ。２,３,７は素数だから約数は２つ。42には８つの約数(上記)があります。 ＊約数の個数のカウント方法については本講座の最長老の第１講座もご覧ください。 あとひと踏ん張りですよ。 Ａと42の最大公約数Ｐは６,14,21のどれかです。 ではその３つの場合に分けて、すだれ算をイメージしてＡを求めてみましょう。 [Ｐ＝６のとき] ６）Ａ 42 □ ７ 最大公約数が６だから、Ａと42は６で割り切れます。 このとき、□と７は互いに素といって、１以外に公約数を持たない関係でなくてはなりません。つまり６で割れたあとに他の整数で割れることはないのです。だって６に続けて何かで割れたら最大公約数が６ではなくなってしまうでしょう？ ＊算数界の専門用語コーナーにも「互いに素」の説明があります。 ７は素数だから、□が７の倍数でなければ互いに素の条件はクリアしますね。 すだれの筆算を逆用すれば、Ａ÷６＝□ すなわち □×６＝Ａだから、Ａが２ケタという問題の条件も考えると、 □に入る整数は ２,３,４,５,６,８,９,10,11,12,13,15,16 です。 ＊１はＡが２ケタにならない。 ＊７と14は「□と７が互いに素」に反してしまう。 ＊17以上はＡが２ケタに収まらない。 これらを□にあてはめて、まず整数Ａとして 12,18,24,30,36,48,54,60,66,72,78,84,90を求めることができます。 [Ｐ＝14のとき] 14）Ａ 42 □ ３ Ｐ＝６のときと同様です。□と３が互いに素であること、□×14で求めるＡが２ケタであることに注意すると、 □に入る整数は １,２,４,５,７ です。 ＊３と６は「□と３が互いに素」に反してしまう。 ＊８以上はＡが２ケタに収まらない。 これらを□にあてはめて、整数Ａとして 14,28,56,70,98を求めることができます。 [Ｐ＝21のとき] 21）Ａ 42 □ ２ これも同様です。□と２が互いに素であること、□×21で求めるＡが２ケタであることに注意します。 □に入る整数は １,３ です。 ＊偶数は「□と２が互いに素」に反してしまう。 ＊５以上はＡが２ケタに収まらない。 これらを□にあてはめて、整数Ａとして 21,63を求めることができます。 お疲れさまでした。これですべてのＡを求めることができましたよ。 改めてＡを小さい順に並べて整理しておきましょうか。 12,14,18,21,24,28,30,36,48,54,56,60,63,66,70,72,78,84,90,98 Ａに当てはまる整数は以上の20個が正解です。 すごくピッタリした個数の正解。なんかうれしくなりますね！ ＊＊＊ 今回の講座では、新企画として、このホームページにアクセスしてくださるお客さんの質問を解決してみました。このテーストも楽しいと思うので、しばらく続けてみたいと思っています。 もし聞いてみたいな〜という算数の質問があったらぜひお寄せください。必ず採用するというお約束はできないですが、なるべくみなさんのご希望を反映させていきたいと思っています。   最後に持ってきました脱線話コーナー。自分将棋が趣味でして、知り合いにアマチュアで日本一将棋の強かった今泉健司さんという人がいるんですが、あんまり強いから日本将棋連盟が特例のプロ編入試験を認め、それは若手バリバリのプロ棋士と５局指して３勝すれば合格という条件だったのですが、軽々と合格を果たしてくれました。本当に強いですから、これからのプロとしての活躍が楽しみです(*'▽') 名誉なことに祝勝会にお呼ばれしまして、ご本人と師匠の桐谷先生と写真を撮ってもらうことができました。今泉さんも有名ですが、桐谷先生もマツコ・デラックスさんの月曜から夜ふかしですごく有名ですよね。そうそう、株でたくさん稼いで、株主優待券めぐりで大人気のあの先生ですね。謹んで記念アップさせていただきます(^-^; それではまた次回の算数講座でお目にかかりましょう！ |
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