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   みんなの算数講座    第95講座    あてはまる整数は    20個あります

お星さまと虹今回の講座では、初めての試みなのですが、このホームページのお客さんから寄せられた質問にこたえてみようと思います。とてもよくできている良問だと思います。みなさんもぜひいっしょに頭を動かしてみてください。

東京都西東京市Iさん(中学受験生の親御さん)から寄せられた質問はこんな問題です。

整数Aと42には公約数が4つあります。Aとして考えられる2ケタの整数をすべて求めてください。

すごくシンプルな問題ですね。見た感じはそんなに難しそうな気はしない…。同感?

ところがこれがなかなか対処に困る問題なんですよ。問題がシンプルすぎちゃって、糸口をどこに見つけたらよいのか悩んでしまう人も少なくないと思います。

では自分のパソコン画面の基準ですが、解説の始まりをスクロールしなければ見えないように下に下げますから、試しにちょっと考えてみてください。すぐに解けた人は算数の力がすごいです!





















どうだったかな? 自信のある解答が準備できた人、いるかな?
ではここから解説を始めますので、お読みになってみてください。整数Aに当てはまる整数はけっこうたくさんありますよ。

まずですね、次のことが頭に入っていないと戦えない問題だったと思います。

公約数は、最大公約数の約数!

このことを簡単な例の20と30で説明してみると、
20と30の最大公約数は10ですね?
そして
10の約数は1,2,5,10です。この1,2,5,10が20と30の公約数なんです。過不足はありません。
公約数というと、ついつい最大公約数ばかり目がいってしまいがちですが(すだれ算の求め方が有名だから?) 最大公約数というのは公約数のなかで一番大きいものであって、ふつうに公約数といえば、最大公約数以外のものもありますから(たとえば1は必ず公約数)、上のデカ字のポイントはしっかりと抑えてください。

つまり、Aと42に公約数が4つあるということは、

Aと42の最大公約数が約数を4つ持つ整数
ということです。

次にポイントになるのは、ここが意外にウッカリ盲点になってしまうようですが、

Aと42の最大公約数は、42の約数に含まれている
はずです。

このことは、次のような説明で大丈夫かな?

Aと42の最大公約数とは
⇒Aと42に共通する約数のなかで一番大きいもの
⇒ならば、Aと42の最大公約数が42の約数に含まれるのは当たり前

納得?言われてみれば当たり前かもしれませんが、ここを気にしないと解答に近づけません。

ではここで、Aと42の最大公約数をPとしましょう。
上に書いたようにPは42の約数に含まれるはずだから、Pの候補は次のとおりです。

Pの候補(42の約数)…1,2,3,6,7,14,21,42

Pは約数を4つ持つ整数だから、上の候補の中から約数を4つ持つ整数を探します。
該当するのは6と14と21ですね。
*6の約数(1,2,3,6) 14の約数(1,2,7,14) 21の約数(1,3,7,21)
*1の約数は1だけ。2,3,7は素数だから約数は2つ。42には8つの約数(上記)があります。
*約数の個数のカウント方法については本講座の最長老の第1講座もご覧ください。

あとひと踏ん張りですよ。

Aと42の最大公約数Pは6,14,21のどれかです。
ではその3つの場合に分けて、すだれ算をイメージしてAを求めてみましょう。

[P=6のとき]

)A 42
  □ 7

最大公約数が6だから、Aと42は6で割り切れます。
このとき、□と7は
互いに素といって、1以外に公約数を持たない関係でなくてはなりません。つまり6で割れたあとに他の整数で割れることはないのです。だって6に続けて何かで割れたら最大公約数が6ではなくなってしまうでしょう?
算数界の専門用語コーナーにも「互いに素」の説明があります。

7は素数だから、□が7の倍数でなければ互いに素の条件はクリアしますね。
すだれの筆算を逆用すれば、A÷6=□ すなわち □×6=Aだから、Aが2ケタという問題の条件も考えると、
□に入る整数は 2,3,4,5,6,8,9,10,11,12,13,15,16 です。
*1はAが2ケタにならない。
*7と14は「□と7が互いに素」に反してしまう。
*17以上はAが2ケタに収まらない。

これらを□にあてはめて、まず整数Aとして
12,18,24,30,36,48,54,60,66,72,78,84,90を求めることができます。

[P=14のとき]

14)A 42
   □ 3

P=6のときと同様です。□と3が互いに素であること、□×14で求めるAが2ケタであることに注意すると、
□に入る整数は 1,2,4,5,7 です。
*3と6は「□と3が互いに素」に反してしまう。
*8以上はAが2ケタに収まらない。

これらを□にあてはめて、整数Aとして
14,28,56,70,98を求めることができます。

[P=21のとき]

21)A 42
   □ 2

これも同様です。□と2が互いに素であること、□×21で求めるAが2ケタであることに注意します。
□に入る整数は 1,3 です。
*偶数は「□と2が互いに素」に反してしまう。
*5以上はAが2ケタに収まらない。

これらを□にあてはめて、整数Aとして
21,63を求めることができます。

お疲れさまでした。これですべてのAを求めることができましたよ。
改めてAを小さい順に並べて整理しておきましょうか。
12,14,18,21,24,28,30,36,48,54,56,60,63,66,70,72,78,84,90,98

Aに当てはまる整数は以上の20個が正解です。
すごくピッタリした個数の正解。なんかうれしくなりますね!

***
今回の講座では、新企画として、このホームページにアクセスしてくださるお客さんの質問を解決してみました。このテーストも楽しいと思うので、しばらく続けてみたいと思っています。
もし聞いてみたいな〜という算数の質問があったらぜひお寄せください。必ず採用するというお約束はできないですが、なるべくみなさんのご希望を反映させていきたいと思っています。

最後に持ってきました脱線話コーナー。
自分将棋が趣味でして、知り合いにアマチュアで日本一将棋の強かった今泉健司さんという人がいるんですが、あんまり強いから日本将棋連盟が特例のプロ編入試験を認め、それは若手バリバリのプロ棋士と5局指して3勝すれば合格という条件だったのですが、軽々と合格を果たしてくれました。本当に強いですから、これからのプロとしての活躍が楽しみです(*'▽')
名誉なことに祝勝会にお呼ばれしまして、ご本人と師匠の桐谷先生と写真を撮ってもらうことができました。今泉さんも有名ですが、桐谷先生もマツコ・デラックスさんの月曜から夜ふかしですごく有名ですよね。そうそう、株でたくさん稼いで、株主優待券めぐりで大人気のあの先生ですね。謹んで記念アップさせていただきます(^-^;

それではまた次回の算数講座でお目にかかりましょう!


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