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   みんなの算数講座    第96講座    囲碁を連想    させるアイデア

お星さまと虹前回に引き続き、今回もこのホームページのお客さんからの質問におこたえする内容です。素晴らしく知恵深い解法がありますよ。さすがにご存知の方は少ないのではないでしょうか。


東京都港区Mさん(中学受験生)から寄せられた質問は次の問題です。
塾でもらったプリントに載っていた問題らしく、実際には数値と終点の設定が若干違うのですが、ボクが解説しやすい設定に直して紹介することにしました。


左の図は、1辺の長さが1cmの正三角形を16個組み合わせてできた図形です。点AからBまで正三角形の辺に沿って進むとき、次の長さで進む方法はそれぞれ何通りありますか?
(1)4cm
(2)5cm


問題の意味はおわかりになりましたか?

点Aから点Bまで一番早く進むには、4cmの経路で進むことが可能です。3cm以下ではAからBまで到達することはできないです。
設問(1)はその最短4cmの場合の経路数なのですが、下のような進み方が一例です。


これが何通りあるかを真正面からぶつかってカウントするのはなかなか大変です。
ボクに質問を送ってくれた生徒さんは、15個ある頂点に(A,Bのような)アルファベットの記号をつけ、樹形図(A→□→□→□→Bのような)を書いて奮闘したようですが、(1)は正解できたものの、(2)では惜しくも数え忘れが生じてしまったようです。

じつはこの問題には冒頭にも書いたように素晴らしいアイデアがあります。
それはこんなふうな考え方です。

考え方@ 「進める長さが1cmだったら」と考えてみる

進める長さが1cmですとね、点Aのすぐ下にある2個の点(左下と右下)にそれぞれ1通りずつの経路があります。1cmではそれ以外の点に進むことはできません。A自身に戻ることも1cmでは不可能です。このことを次のように表しておきます。


考え方A 1cm延ばして「進める長さが2cmだったら」と考えてみる

進める長さが2cmに延びますと、さきほどより一段下の点まで到達が可能になります。
考え方@の図で[1]になっている点の下にある3個の点まで終点が延ばせますよね。
そしてここで勘違いしないでほしいのは、考え方@の図で[1]になっている点に対しても2cmで進むことは依然可能であるということです。
2cmで進める各点への経路数は次のようになります。

黄緑色で示した経路は、Aの右下の点へ2cmで進む経路の1通りです。
*出発点Aに2cmで進むのも2通りの経路があります。Aから左下に下がって同じ道を戻る経路、右下に下がって同じ道を戻る経路の2通りです。
この問題には、一度通った道を繰り返し通ってはいけないという条件はありません。

さて、もう1cm延ばして進める長さを3cmにすると、だいぶ話が見えてくると思います。
さっそく…。

考え方B さらに1cm延ばして「進める長さが3cmだったら」と考えてみる

今度は進める長さが3cmです。
2cmのときより、また一段下の点までの到達が可能になりますね。3cmで到達が不可能なのは、一番下の線上にある5個の点だけです。それ以外の点はすべて3cmあれば到達可能です。
では3cmで進める各点への経路数を示してみましょう!
下の左図です。
  

ここでね、次のようなことに気づいてくださると大変優秀です。

1cm延びたときのある点Xへの経路数は、延びる前の状態(1cm短いときの図)でXから1cm離れていた点の経路数の合計です。

3cm経路の図(上左図)で赤で示した経路数[
6]は、その1つ前の2cm経路の図(上右図)で[6]の点と1cm離れていた各点の経路数(上右図の赤い数字)の合計です。
6(左図)=2+1+2+1(右図)

えーとオレンジ色の説明を補足しますと、3cmである点に到達するためには、2cmのときにその点の1cm隣りの点にいないとならないでしょう?
だから3cmのときの[
6]は、2cmのときに隣にあった経路数を合計して求めることができるわけです。図を1つさかのぼって考えるというとても知恵のある面白い考え方ですね。

はいはい、これで設問(1)の解答は手中ですね。
3cmのとき、点Bの1cm隣りにある経路数はBの左上と右上にある[3]と[3]です。
この合計によって(1)の解答は6通りと求めることができます。

設問(2)を考える意味でも4cmのときの経路数を示しておく必要がありそうです。
4cmのときの経路数は次のようになります。どの点も3cmの図で隣りにあった数字をたし込んでますよ。
*囲碁で石が取れる状態が連想できます。白石の位置の経路数を求めるとき、
1つ前の図で、白石のまわりにあった黒石の位置の経路数をたす感じです。(白石自身の経路数は、たさないように!)
囲碁を知らない人もいると思いますが、左のイラストのように黒石に囲まれた白石は取られてしまいます。




この図があれば設問(2)、5cmのときのBへの経路数も大丈夫でしょう。
上の4cmの経路数の図で、点Bと1cmで隣り合っている点の経路数をすべて加えます。たす場所を黒い碁石のようにしておきましたよ。11+11+4+4ですね。これを計算して(2)の解答は30通りです。

なんかみなさんしっかりと理解してくれたようなので、5cmの場合の経路数の図は省略させてもらいますね。

***
いかがでしたでしょうか。
この考え方を自力で思いつける人はよっぽどの才能の人だと思うし、こうやって説明を書いてるボク自身もいつだか他の人から教わった内容です。

小さい(少ない)ときのケースから大きい(多い)ときを想定していく!


このことはみなさんが算数を勉強する上でとても大事なポイントだと思います。
高級で専門的な数学ではわからないけど、算数では1,2,3,4で成り立ったことが5から急に崩れたりはしないですよ。崩れたらかなりの意地悪問題かな。

今回は簡単な例からの類推を大事にしましょう!
ということで、講座のお開きにしたいと思います。じゃあ、みなさ…

ん?いつもの脱線を一つくらいしゃべってから終わってよって???

うーん、そう言われてもなかなかないね〜。ボクや家族のレジャーの写真じゃみなさんあんまり楽しくないだろうし…。将棋のネタも今回は思いつかないし…。

あっ、じゃあレモンが3個でメロンになる覆面算(ふくめんざん)でも出しときましょうか。

同じアルファベットには0〜9の同じ数字が入ります。アルファベットが違うのに数字が同じになることもありません。
解答は次回講座の冒頭でね。じゃあ頑張ってください!

では今度こそみなさんさようなら。また次回の算数講座で算数を楽しみましょう!


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