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   みんなの算数講座    第98講座    内部底辺

お星さまと虹今回は、授業で生徒から質問された面積の問題を素材に、三角形の底辺は3辺のどれかとは限らないというお話をしてみたいと思います。図形の問題では、こうした発想の切り替えが活きることが多いですよ。


タイトルがいきなりご存知ない言葉だったのではないでしょうか?
読み方はふつうに〈ないぶ ていへん〉でオッケーです。では内部底辺とはいったい何を意味しているのか?それは次の問題を使って解説していきたいと思います。



 左の図で、青い線で囲まれた図形の面積を 求めてください。(単位 cm)




問題の出典はボクの生徒(現6年生)が通っている塾の教材です。
複合図形なので、1つの公式でいっぺんに求めることができないのはおわかりでしょう。
当然分割して考えますね?

これ、とてもよくできている問題で、おかしな分割をしてしまうと、条件不足の迷路を走り回る羽目になってしまいます。たとえばタテ11cm、ヨコ16cmの長方形を求めてしまうと、残り2ヵ所の三角形の面積を求めることができません。

では他にどのような分割が考えられるでしょうか?

分割案はそれほどたくさんあるわけではないので、長方形を抜くのが失敗なら「下の台形と上を三角形に分ける?」とお考えになった人がいらっしゃると思います。
はい、その分割で正解です。

では部分的に解決させてしまいましょう。
下にある台形は〈上底7cm、下底4+7=11cm、高さ16cm〉を使って計算します。簡単ですね?
(7+4)×16÷2=88cm2…下にある台形の面積(ア)

さてこれで半分終わりです。いや、内容的には半分までいってないかもなぁ(^-^)
下の台形は88cm2でよいとして、その上に乗っかっている三角形の面積、みなさんは無事に求めることができますか?

三角形の面積といえば、普通は3つある辺のどれかを底辺に選びます。こういう慣れというか思い込みというか、なかなか拭(ぬぐ)い去るのは難しいかもしれませんけど、
しかしね、次の図を見てください。いま面積を求めたい三角形をオレンジ色で囲んでみましたが、3つの辺のどこにも長さは示されていません。
3つの辺のそれぞれの長さを求めるのは不可能と言ってよいでしょう。数学が超優秀な高校生や大学生を応援団に迎えても厳しいでしょうね。12cmになっている線を左右に動かすことができそうでしょう? そう、オレンジ色の三角形は面積を変えずに形だけを変える(等積変形できる)ことができるのです。だったら3つの辺の長さが決まるわけもないですね。



じゃあ面積は求めれないや。やめたっ!あきらめよっ!

じゃなくてですね、じつはこのオレンジで囲んだ三角形、3つの辺のどれかが底辺という発想さえ捨てれば、きれいに面積が求められるんですよ。

この講座のタイトルを思い出してください。そう、
内部底辺です!
もう一つ図を作りましたのでご覧ください。



じつはこのオレンジの三角形は、三角形の内部に引かれている
点線を底辺と見るのです。内部にある底辺だから内部底辺、安直なネーミングだけどわかりやすいから評判いいですよ。
*さんじゅつまん得意の造語です。正式名称ではありませんからご注意ください(笑)

するとね、その
内部底辺を境目にオレンジの三角形を上下2つに分ければ、上の高さは紫の点線、下の高さは水色の点線でしょう?
紫と水色のそれぞれの長さはわからないけど、合計で12cmとわかっていれば問題ないです。
上下どちらも底辺が16cmなので、高さは紫と水色をまとめて12cmでよいわけです。

じゃあオレンジの三角形の面積を求めますね。
〈内部底辺16cm、高さは合計で12cm〉を使って計算します。
16×12÷2=96cm2…台形の上に乗っているオレンジの三角形の面積(イ)

よしよし、これで問題は最後まで解決しました。
では最終着陸。
(ア)と(イ)を合計して、今回の問題の解答は88+96=
184cm2です。

***
今回の講座どうでしたか?
前回まで3講座はホームページのお客様からの質問特集でしたが、今回はいま教えている生徒からの質問で題材を思いつきました。K・N君、講座を一つ進ませてくれてありがとう!

三角形の底辺を内部に考えるという発想の切り替え。今回解説した問題には、それがイメージしやすいように各所に点線が引かれていましたが、場合によってはそうしたヒントもなく、のっぺらした三角形の中で内部底辺を考えなければならない問題もあるでしょう。頭のどこかに収めておいてくださいね。

以上、ナイブテーヘンのお話でした。なんかのお菓子の名前に似てるね。そう、それそれ(^^♪

メルシー!
今回はフランスさんのありがとうでお別れしたいと思います。次は第99講座ですね。

カーテンコール
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