 Ｂ４１  相当算
あるボールが床（ゆか）に落ちたとき、落とした高さの60％だけはね上がります。左図のような段で上から落としたところ、一番下の床で30cmはね上がりました。上から２段目の高さ？は何cmですか？ ※図中の数値は各段の高さを示し、単位はcmです。
解答 32ｃｍ
解説 ４回のバウンドを①、②、③、④とします。
① 30ｃｍ落ちたから30×0.6＝18ｃｍはね上がります。
④ はね上がりが30ｃｍだから、30÷0.6＝50ｃｍ落ちました。
③ はね上がりが50－20＝30ｃｍだから50ｃｍ落ちました。
② ③と同じです。
？は②の落ちた長さと①のはね上がりの差だから、50－18＝32ｃｍです。
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Ｂ４０ 規則性
数字がある規則にしたがって次のように並んでいます。
１、１、２、１、２、３、１、２、３、４、１、２、３、４、５、……
10が10回現れるまでに、Ａは３×Ａ回現れます。Ａはいくつですか？
解答 ５
解説 ①(１)②(１、２)③(１、２、３)④(１、２、３、４)⑤(１、２、３、４、５)……のように番号をつけて組分けしてみると、各組で〈１〉から〈番号と同じ数〉まで数が並んでいることがわかります。10が初めて現れるのは⑩組で、10が10回目に現れるのは⑲組の10番目です。⑲組の10番目までにそれぞれの数が現れる回数を考えると次のようになります。
１→19回 ２→18回 ３→17回 ４→16回 ５→15回 ６→14回 ７→13回 ８→12回 ９→11回 10→10回
11→８回 12→７回 13→６回 14→５回 15→４回 16→３回 17→２回 18→１回
このなかで現れる回数がその数自身の３倍になっている数は５です。
※解説なのですべての数の回数をあげましたが、その数と回数の倍率は小さくなる一方だから、実際には５×３＝15回がわかった時点で見切りをつけてよいと思います。
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Ｂ３９ 場合の数
１ケタの整数１、２、３、……、９が書かれたカードが１枚ずつあります。（１～９各１枚、合計で９枚）
隣り合った数字を使わずに２ケタの整数を作るとき、全部で何通りの整数ができますか？
解答 56通り
解説 十の位を１か９（２通り）にすると一の位は７通りずつあります。→２×７＝14通り…ア また、十の位を２～８（７通り）にすると一の位は６通りずつあります。→７×６＝42通り…イ アとイを合計して解答は56通りです。
※10から99まで２ケタの整数は90個あります。ここから10や20のように一の位が０のもの（９個）12、21、23のように隣り合う数字が並ぶもの（16個）11、22、33のようなゾロ目（９個）を引いてもよいと思います。
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Ｂ３８ 割り算と余り
ある集会の参加者は200人以上300人以下でした。参加者をグループ分けするとき、24人ずつのグループを作っていくと１つのグループだけが21人になりました。また、30人ずつのグループを作っていくと３つのグループが27人ずつになりました。集会の参加者は全部で何人ですか？
解答 261人
解説 24人ずつのグループを作ると21人あまるから、参加者の人数は24の倍数より21大きい人数です。…ア
また、30人ずつのグループを作ると27×３＝81人が30人グループからはずれていて、その81人を30人グループに直すと81÷30＝２あまり21より、30人ずつのグループを作ったときも21人あまることがわかります。したがって参加者の人数は30の倍数より21大きい人数です。…イ
ア、イより参加者の人数は24と30の公倍数より21大きい人数とわかり、24と30の最小公倍数は120だから、参加者の人数を120×□＋21人と表すことができます。〈参加者の人数200人以上300人以下〉の条件から、□に２をあてはめた261人が正解となります。
※第13講座の過不足算と雰囲気が似ていますが、これはグループの数に条件がないため過不足算とはちがいます。第５講座で説明した割り算のあまりに関する問題です。
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Ｂ３７ 割合
ヨーグルト１ｇに牛乳５ｇを加えると、次の日には新しいヨーグルトが６ｇできます。ダルビ君の家では毎日こうして作ったヨーグルトの２／３を食べ、残りのヨーグルトにその５倍の牛乳を加えて新しいヨーグルトを作っています。
ある日10ｇのヨーグルトに牛乳を加えてヨーグルトを作り始めました。作り始めてから５日後には、たくさんできたので食べる前に近所の家に分けてあげました。そして残りのヨーグルトの２／３を食べてから、今までと同じようにヨーグルトを作ったら、その２日後にできたヨーグルトは1440ｇでした。近所の家にあげたヨーグルトは何ｇでしたか？
解答 600ｇ
解説
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１日後 |
２日後 |
３日後 |
４日後 |
５日後 |
１日後 |
２日後 |
| できる量 |
--- |
60ｇ６ |
120ｇ |
240ｇ |
480ｇ |
960ｇ→360ｇ |
720ｇ |
1440ｇ |
| 食べたあとの量 |
10ｇ１ |
20ｇ２ |
40ｇ |
80ｇ |
160ｇ |
120ｇ |
240ｇ |
--- |
初めのヨーグルトを１とすると、牛乳を加えることで翌日６倍のヨーグルトに増え、
その後2/3を食べると６×(１－2/3)＝２が残ります。このように６倍、1/3倍を続けると、できる量も食べたあとの量も前の日の２倍が続くことになります。
５日後にできる量は960ｇですが、最終的なヨーグルトは1440ｇだから、前の日にできる量が1440÷２＝720ｇ、その前の日にできる量が720÷２＝360ｇのはずです。したがって５日後に近所にあげた分は960－360＝600ｇです。
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Ｂ３６ 日暦算（月内の曜日の回数）
 ある年の３月は月曜日と木曜日が４回ずつでした。
この年の３月３日は何曜日ですか？
解答 日曜日
解説 ３月は大の月で月末は31日です。31日÷７＝４週間あまり３日だから、大の月には４週で足りずに５週になる曜日が３つあります。月曜日と木曜日が４回なら、その間にある火曜日と水曜日も４回のはずで、５回になる曜日は金曜、土曜、日曜です。この年の３月は金曜始まりの木曜終わりで、３月３日は日曜日です。
曜日 金土日月火水木
回数 ５５５４４４４
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Ｂ３５ 整数問題（２つずつの整数の和）
４つの整数Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄがあり、この順に大きいとします。（Ａ＞Ｂ＞Ｃ＞Ｄ）
この４つの整数のうち、２つの整数を取り出してその和を求めると、次の５通りになりました。
134，121，109，97，84
４つの整数Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄはそれぞれいくつですか？
解答 Ａ73 Ｂ61 Ｃ48 Ｄ36
解説 ４つの整数から２つの整数を取り出すと、下表ア～カのように全部で６通りの取り出し方があります。
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Ａ |
B |
C |
D |
和 |
| ア |
○ |
○ |
|
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134 |
| イ |
○ |
|
○ |
|
121 |
| ウ |
○ |
|
|
○ |
109 |
| エ |
|
○ |
○ |
|
109 |
| オ |
|
○ |
|
○ |
97 |
| カ |
|
|
○ |
○ |
84 |
Ａ＞Ｂ＞Ｃ＞Ｄの条件から、もっとも和が大きくなるのはア)Ａ＋Ｂ、次がイ)Ａ＋Ｃ、逆にもっとも和が小さくなるのはカ)Ｃ+Ｄ、次に小さくなるのがオ)Ｂ＋Ｄです。
問題では５通りの和しか与えられていませんが、それは和が同じになる組合せがあることを示していて、ウ)Ａ＋Ｄとエ)Ｂ＋Ｃは同じ値です。
※それ以外は大小の順がはっきりするから同じ値にはなりえません。
６種類の和をすべて加えると、Ａ～Ｄをそれぞれ３回ずつ合計した値になります。（○の数が３コずつ）
134＋121＋109＋109＋97＋84＝654→Ａ～Ｄ３回ずつの和
654÷３＝218→Ａ～Ｄの和
あとはウオからＡＢの差が12、アイからＢＣの差が13、イウからＣＤの差が12とわかるから、和差算を使って（線分図を書いてください）４つの整数をすべて求めることができます。
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Ｂ３４ 周期算
ドラミさんは、日曜日に70円、月曜日に60円、火曜日に50円、水曜日に40円、木曜日に30円、金曜日に20円、土曜日に10円を毎日貯金することにしました。日曜日から始めて、ドラミさんの誕生日に貯金額を調べたら10540円でした。ドラミさんの誕生日は何曜日ですか？
解答 火曜日
解説 一週間の貯金額は70＋60＋50＋40＋30＋20＋10＝280円です。10540÷280＝37あまり180だから、日曜日に貯金を始めてから37週間経過後に180円不足します。次の週の初めの３日間で70＋60＋50＝180円になるから、ドラミさんの誕生日は日曜日から３日目の火曜日です。
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Ｂ３３ 約束計算（ブラックボックス）
あるブラックボックス（特定の計算をする機械）に整数を入力すると、
次の①～④の計算を連続して行い、計算結果を出力します。
①５を加える
②10で割る
③小数第１位を切り捨てる
④10倍する
計算結果として50が出力されました。入力した整数はいくつですか？考えられる整数をすべて答えてください。
解答 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54
解説 計算④の手前で50÷10＝５、③の手前で５以上６未満、〈10倍して〉②の手前で50以上60未満、〈５を引いて〉①の手前で45以上55未満です。入力した数は整数だから、45以上55未満の整数が正解となります。
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Ｂ３２ うるう年
うるう年のきまりは次のようになっています。
「西暦の年号が４の倍数の年をうるう年とする」
例外①「４の倍数であっても100の倍数の年はうるう年としない」
例外②「100の倍数であっても400の倍数の年はうるう年とする」
では、来年の西暦2012年から西暦3000年までに、うるう年は何回ありますか？
解答 240回
解説 2012から3000までの４の倍数は、（3000－2012）÷４+１＝248個です。※＋１に注意！（植木算）
そのうち、例外①に該当する100の倍数が2100、2200、……、2900、3000の10個あり、例外②に該当する400の倍数が２個あります（2400と2800）。したがってうるう年の回数は全部で248－10＋２＝240回です。
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Ｂ３１ 旅人算（３人）
Ａさんは分速120ｍ、Ｂさんは分速60ｍ、Ｃさんは分速30ｍの速さで歩きます。3600ｍ離れたＰ、Ｑ２地点があり、ＡさんとＣさんはＰ地からＱ地に向かい、ＢさんはＱ地からＰ地に向かい３人が同時に出発します。ＡさんはＢさんと出会ったとき、向きを変えてＰ地の方へもどり、Ｃさんと出会ったとき、再び向きを変えてＱ地に向かいます。ＡさんとＢさんが２度目に出会う地点はＰ地から何ｍ離れたところですか？
解答 1440ｍ
解説
※図の左側がＰ地、右側がＱ地
 逆側から近づくとき、出会うまでにかかる時間は〈離れている距離〉÷〈速さの和〉で求めます。また、同じ方向に進むとき、離れる距離は〈速さの差〉×〈時間〉です。
黒い線が第一段階です。ＡとＢは3600÷（120＋60）＝20分で出会います。そのときＡとＣは（120－30）×20＝1800ｍ離れています。
緑の線が第二段階です。ＡとＣは1800÷（120＋30）＝12分で出会います。そのときＡとＢは（120－60）×12＝720ｍ離れています。赤い線が第三段階です。ＡとＢは720÷（120+60）＝４分で出会います。
３つの段階を合計するとＢの歩いた時間は20＋12＋４＝36分で、Ｂの歩いた距離は36×60＝2160ｍです。ＢはＱ地から歩き始めたから、Ｐ地からの距離は3600－2160＝1440ｍです。
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Ｂ３０ 計算の工夫（九九の和）
九九（クク）の一の段から九の段までには9×9＝81種類の計算があります。「インイチがイチ」から「ククハチジュウイチ」までです。その81種類の計算結果をすべて加えた和を求めてください。
解答 2025
解説 一の段の積の合計は１×１+１×２+…+１×９＝１×（１+２+…+９）、二の段の積の合計は２×１+２×２+…+２×９＝２×（１+２+…+９）のように表すことができます。同じように三の段から九の段まで■×（１+２+…+９）と表すことができるから、九九のすべての積の合計は（１+２+…+９）×（１+２+…+９）＝45×45＝2025です。
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Ｂ２９ 約束記号（約数の和）
整数Ａの約数の和を［Ａ］で表します。たとえば ［６］＝１＋２＋３＋６＝12です。
［18］－［Ｂ］＝［31］となるような整数Ｂを求めてください。
解答 ４
解説 〔18〕＝１+２＋３＋６＋９＋18＝39 〔31〕＝１＋31＝32だから、〔Ｂ〕＝39－32＝７です。約数の和が７になることからＢが６以下の整数であることは明らかです（どんな整数でも必ず１とその数自身が約数になるから）。６以下の整数で約数の和が７になる整数を探すと４だけが該当することがわかります。（〔４〕＝１＋２＋４＝７） 正解はＢ＝４です。
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Ｂ２８ 場合の数（色の塗りわけ）
まっすぐに並ぶ４軒の建て売り住宅を建設中です。屋根の色を、となり合う住宅が同じ色にならないように、ピンク、クリーム、ブルーの３色すべてを使って塗（ぬ）りたいと思います。塗り方は全部で何通りありますか？
解答 18通り
解説 ４軒の住宅をア、イ、ウ、エ ３色をＰ、Ｃ、Ｂとします。
まず初めに「となり合う住宅が同じ色にならないように」パターンの数を考えます。アの色は３通り、イの色はアの色を除く２通り、ウの色はイの色を除く２通り、エの色はウの色を除く２通りとなり、この合計は３×２×２×２＝24通りです。
しかし！
この24通りは「すべての色を使う」という条件を考えていません。つまり、ＰＣＰＣのようなケースが含まれているのです。このような２色がたがい違いになるパターンはＰＣＰＣ、ＣＰＣＰ、ＰＢＰＢ、ＢＰＢＰ、ＣＢＣＢ、ＢＣＢＣの６通りです。
24通りからこの分を差し引き、解答は18通りです。
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Ｂ２７ 不思議な条件
碁（ご）石の黒石70個と白石30個があります。これを混ぜて２つの箱に分けたら、１つの箱の黒石の数が、もう１つの箱の白石の数より12個多くなっていました。２つの箱のうち入っている碁石の数が多い方は、黒石と白石を合わせて何個入っていますか？
解答 58個
解説 表を用意しました。箱Ａの白石を□個、箱Ｂの黒石を□＋12個として、アイウの順に考えます。
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黒 |
白 |
計 |
| 箱Ａ |
ア |
□ |
イ |
| 箱Ｂ |
□+12 |
エ |
ウ |
| 計 |
70 |
30 |
100 |
ア…70から□と12を引いた個数だから、58より□少ない個数です。
ア＝58－□個
イ…58－□と□の合計だから58個です。イ＝58個
ウ…全部で100個だから、100からイを引くとウが求められます。ウ＝42個
合計のご石が多いのは箱Ｂで、正解は58個です。
※条件が不足しているため、□がいくつであるかを求めることはできません。しかし、□を使った式を上手に操作することで、それぞれの箱の合計の個数を知ることができます。ちょっと不思議な問題でしたね。
※エウイの順に考えていくこともできそうです。
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Ｂ２６ サイコロの構成
 左に示したように、台の上に２つのサイコロをたてに重なるように置きます。このとき、見えている目の数を全部かけた積を考えます。左の例の場合は１×２×３×５×４×４×５×３×２＝14400となります。いろいろなサイコロの置き方のなかで、見えている目の数を全部かけた積が最大になるとき、その最大の積はいくつですか？
解答 86400
解説 上のサイコロは見えない面が１面だから、１の面を隠すと見える面の数の積が最大になります。また、下のサイコロは見えない面が２面だから、平行な１と６の面を隠すと見える面の数の積が最大になります。したがって正解は（２×３×４×５×６）×（２×３×４×５）＝86400です。
※サイコロの平行な面の和は７です。１と６の面を見えるようにしたとき積は１×６＝６倍ですが、２と５の面では２×５＝10倍、３と４の面では３×４＝12倍だから、積への影響は１と６を隠したときが一番大きくなります。
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Ｂ２５ 倍数とあまり
９を加えると12の倍数になり、12を加えると９の倍数になる整数があります。このような整数で200にもっとも近い整数を求めてください。
解答 195
解説 条件にあてはまる整数を□とすると、□+９が12の倍数だから、さらに12を加えた□＋21は12の倍数です。また、□+12が９の倍数だから、さらに９を加えた□+21は９の倍数です。これらのことから□+21は12の倍数かつ９の倍数、つまり12と９の公倍数とわかります。
12と９の最小公倍数は36だから、公倍数は36、72、……、180、216、252、……
ここから21を引いた値が□だから、もっとも200に近いものは216－21＝195となります。
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Ｂ２４ 速さと比
菜々子さんと真央さんは同じ宿題を同時に始めました。はじめ、菜々子さんと真央さんの宿題をこなすスピードは15：14でしたが、菜々子さんは半分を終えたところでスピードを0.8倍にしました。真央さんはスピードを最後まで変えずに1時間30分ちょうどで終えました。菜々子さんが宿題を終えるのにはどれだけの時間がかかりましたか？
解答 １時間34分30秒
解説 二人の宿題の量は等しいから、宿題をこなすスピードと宿題を終える時間は反比例（比が逆になる）します。
宿題をこなすスピード 菜：真＝15：14 → 宿題を終える時間 菜：真＝14：15
菜々子さんは半分の時間７（14÷２）がたったとき、スピードを0.8倍（＝4/5倍）に落としたから、残りをこなす時間は７×5/4＝８と3/4になり、最初の７を合わせると全部で15と3/4の時間がかかります。
一方真央さんのかかる時間は15だから、改めて二人の時間を整数比で表すと、菜：真＝15と3/4：15＝63：60＝21：20です。この20が90分（←１時間30分）にあたるから、21にあたる時間は90×21/20＝94.5分。単位を直して１時間34分30秒が正解になります。
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Ｂ２３ 体積
直方体があります。この直方体のたての長さを２ｃｍ長くすると100ｃｍ3、横の長さを３ｃｍ長くすると120ｃｍ3、高さを４ｃｍ長くすると80ｃｍ3それぞれ体積が増えます。もとの直方体の体積は何ｃｍ3ですか？
解答 200ｃｍ3
解説 たての長さを○ｃｍ、横の長さを□ｃｍ、高さを△ｃｍとします。たての長さだけを２ｃｍ長くしたとき、横の長さと高さは変わらないから、□×△×２＝100→□×△＝50…ア という式が作れます。同じように○×△×３＝120→○×△＝40…イ ○×□×４＝80→○×□＝20…ウ です。
アとイの式をかけてウの式で割ると（□×△）×（○×△）÷（○×□）＝△×△となり、△を２回かけたときの値が求められます。△×△＝50×40÷20＝100→２回かけて100になる△は10（高さ）
あとは△＝10をアの式にあてはめて□＝５（横）、イの式にあてはめると○＝４（タテ）です。したがって直方体の体積は４×５×10＝200ｃｍ3と求められます。
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Ｂ２２ つるかめ算
姉と妹でジャンケンをしてえんぴつを分けることにしました。「勝てば４本、負けると２本もらえるが、あいこの場合はもらえない」というルールで16回ジャンケンをしました。その結果、姉は36本、妹は30本のえんぴつを手に入れました。あいこの回数と姉が勝った回数を、それぞれ求めてください。
解答 あいこ５回 姉の勝ち７回
解説 勝負がつくと、１回について４＋２＝６本のえんぴつが渡されます。姉妹の合計で36＋30＝66本のえんぴつをもらっているから、勝負がついた回数は66÷６＝11回、あいこの回数は16－11＝５回とわかります。
もし姉が11勝０敗のとき、姉のえんぴつは４×11＝44本になりますが、実際には36本だから８本（44－36）少なくなっています。勝ちが負けに変わるともらえる本数が４－２＝２本減るから、姉が８÷２＝４回負けていることがわかります。姉が勝った回数は11－４＝７回です。
♪後半はつるかめ算です。11/30wedの問題では数値が大きかったので面積図を書きましたが、この問題は数値が小さいので、ひとまず姉を全勝と仮定し、実際とのズレから負けの回数を調べました。面積図を書かずに、こうした考えをつなげて解く方が、よりつるかめ算の本質に迫っているともいえるでしょう。
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Ｂ２１ 規則性
２つの整数の組を下のような順番で並べていきます。
（１，１）（１，２）（２，１）（１，３）（２，２）（３，１）（１，４）（２，３）
（３，２）（４，１）・・・・・
初めから150番目の組を答えてください。
解答 （14，４）
解説 （１，１）|（１，２）（２，１）|（１，３）（２，２）（３，１）|（１，４）（２，３）（３，２）（４，１）|・・・・・
｜で区切ったように、左右の数の和が(1)２のグループ、(2)３のグループ、(3)４のグループ、(4)５のグループ、……と続いています。※( )内はグループ番号
(1)には１個、(2)には２個、(3)には３個、…の組があるから、整数を１から順に加えた和が150に近づくときを調べると、１から16までの和が136です。※150を超えない範囲で考えます
つまり(16)のグループが終わったところで136個の組が現れることになり、150番目の組とは(17)のグループの14番目の組です（150－136＝14）。(17)のグループは左右の数の和が18で、左の数は１から順に増えていくから14番目では14、右の数は18－14＝４です。したがって解答は（14，４）と求められます。
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どうでしたか？ できましたか？