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   みんなの算数講座    第14講座    記念撮影と    掃除当番


お星さまと虹今回の講座では
場合の数の2大スターともいえる<計算>と<計算>について紹介したいと思います。スター紹介のわりには変な講座名と思われるでしょうが、その意味はきっとお読みいただくうちにわかることでしょう。


では初めに、場合の数の2大スター計算>と<計算>の本名をお伝えしておきます。

ermutation
ombination

計算(ピーケーさん)の本名は「パーミュテーション」
計算(シーケーさん)の本名は「コンビネーション」です。
パーミュテイションは初耳の人が多いかも知れませんが、コンビネーションは日本語でもよく使いますね。コンビネーションサラダ、コンビネーションプレー、そうそう、それそれ。日本語に訳すと、パーミュテーションが
順列(じゅんれつ)、コンビネーションが組合せです。残念ながらパーミュテーションは身近にたとえがないけど、コンビネーションサラダはいろいろな野菜が組み合わさってますよね。

じつはね、この2つの英単語の頭文字は数学の記号として正式に使われているのです。中学や高校で習った読者の人もたくさんいらっしゃるでしょう。おそらく中学受験の塾でも教えるところは多いんじゃないかな。小学校の検定教科書には現れませんけど、英単語の頭文字くらい、小学生でも全然難しくありませんからね。

では1つずつ意味と使い方を解説します。よく似ていますから、しっかり区別できるように勉強してください。

サルパンダライオンゾウ

<記念撮影はermutation(順列)>
上のようにの4匹の動物がいます。
サル、パンダ、ライオン、ゾウですから当然みんな別人(別動物?)です。

上の4匹のなかから3匹を横一列に並べて記念写真を撮ろうと思います。
並べ方は全部で何通りありますか?

このような問題を順列の問題といいます。

まず式の書き方ですが、4匹の動物のなかから3匹の動物を並べるから
3と書きます。 ←全部の数並べる数

計算方法ですが、Pの左側の4からスタートして、1ずつ減らしながら3つの数(Pの右側が3だから)をかけてください。
3=4×3×2=24(通り) となります。

この計算の意味を説明しておきましょう。
{○□△}のように並んだ写真ができあがるとすれば、○に並べる動物が4通り、
□に並べる動物は○に並べた1匹が減って3通り、
△に並べる動物は、さらに□に並べた1匹が減って2通り、
このことから全部で4×3×2=24(通り) と計算できるわけです。
24通りすべてを示すのは大変なので
(というかみんなが勉強にならないので)
○に並べる動物がサルの場合(6通り)だけを示しておきます。
○に並べる動物がパンダライオンゾウの場合も同じように6通りずつになりますね。

○ □ △
サルパンダライオン
サルパンダゾウ
サルライオンパンダ
サルライオンゾウ
サルゾウパンダ
サルゾウライオン

重要 の計算方法
異なる
(個)のなかから (個)を並べる順列の数は、からスタートして1ずつ減らしながら個の数をかければよい

<掃除当番はombination(組合せ)>

さきほどの4匹の動物にネコネコを加えて5匹にします。5匹の動物のなかから、3匹の掃除当番を選ぼうと思います。
掃除当番の選び方は全部で何通りありますか?

これは最初に説明した記念撮影のときとは大きな違いがあります。それは掃除当番を選ぶ場合、並べる順番に意味がないという点です。

具体的にはサルパンダライオンサルライオンパンダの2通りは、
記念撮影の並び方としては区別する必要がありますが
(順番が違えば違う写真でしょう?)
掃除当番の選び方としては区別する必要がないのです
(掃除当番はメンバーに意味があるだけで、順番は関係ないでしょう?)

掃除当番のように、選ぶことだけが目的で、並べる順番を考える必要のない場合が
組合せの問題です。

式は5
3と書きます。 ←全部の数選ぶ数

計算方法は
にかえて計算した積〕を、
の右側の数を1ずつ減らして1までかけた積〕で割ります。


=(5
3)÷(3×2×1)
=(5×4×3)÷(3×2×1)
=60÷6=
10(通り) ※実際には5×4×3を分子、3×2×1を分母に書き、約分すると簡単!

組合せの計算で割り算を行う理由ですが、
3で求める60通りの中に、選び方としては区別されないものが6通り(3×2×1)ずつ重複しているからです。
※6通りの重複例…53で求める60通りは、下のような同じ選び方を6通りずつ数えています
サルパンダライオン  サルライオンパンダ パンダサルライオン パンダライオンサル ライオンサルパンダ ライオンパンダサル

重要 の計算
異なる
(個)のなかから(個)を選ぶ組合せの数は、
の計算結果を
「Rから1ずつ減らして1までかけた積」で割ればよい

***
みなさん、
順列Pの計算と組合せCの計算方法を理解していただけたでしょうか?
場合の数の分野はとても奥が深く、難しい問題がたくさんあります。今回の2人のスターを知ることは、まだ場合の数の入り口に過ぎませんが、基礎としてものすごく大切な知識です。
これはボクの口癖ですが、1の跳び箱の上に3の跳び箱は乗りません! 無理に乗せたとしても不安定でグラグラします。いつ落ちちゃうかわかりゃしない。
この跳び箱の例のように、算数の勉強は途中をとばさないようにしっかりと積み上げていかないと、あとになってからガタガタと崩れ落ちてしまうのです。
今回の内容は基礎ですが、いつまでも頭の中で大切にしてあげてくださいね。そうじゃなければボクが動物の画像を用意した意味がありません…
これは冗談

では、最後にもう一度繰り返して第14講座を終わることにします。
 順列  並べることが目的(選ぶだけではない)
 組合せ 選ぶことが目的(並べる順番は考えない)


テスト問題を改訂版にリニューアルしました。
右の まねき猫をクリック すると、第14講座のテスト問題があります。
解答、解説は別ページです。問題のページからお進みください。

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