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   みんなの算数講座    第16講座    加比の理で解く    図形の問題


お星さまと虹今回の第16講座は「同じ比どうしを合わせても同じ比」という
加比の理(かひのり)と呼ばれる考え方を図形の問題に応用するお話です。理解してもらえたら図形のレベルアップは間違いないでしょう。


ではまず簡単な例で
加比の理について説明しておきます。

優子さんが2000円、さおりさんが1500円持っていたとしましょう。
2人の所持金の比は? そう、4:3です。
この2人が親切なマナベさんからおこづかいをもらいました。
年上の優子さんが400円、さおりさんが300円です。
もらったおこづかいの比は? えぇ、これも4:3です。

では、初めの所持金に、もらったおこづかいを加えてみましょう。
優子さんは 2000+400=2400円、さおりさんは 1500+300=1800円 になります。
じゃあ最終的な2人の所持金の比は? そうそう、これまた4:3なのです。

このことを当たり前だと感じてくれた人はどれくらいいるかな?
いまの例のように、ある決まった比(A:B)の量に対して、同じA:Bの量を加えた場合、合計の量もA:Bとなり、このような性質を算数では
加比の理と呼んでいます。
※たすのではなく、引いても同じことです

さて、このことを使って解く図形問題があります。いろいろなところですごく出題されますよ。必ず役に立ちますから、しっかり理解してくださいね!

下の図形において、EG:GCを求めてください。
問題図

この問題で何回か使う図形の基礎知識を1つ確認しておきます。
高さが共通な三角形の面積の比は、底辺の比と等しい

△EBG△GBCの底辺をそれぞれEG、GCとみると、2つの三角形の高さは共通です。
※BからECに垂直に引く線が高さ
…とすると、EG:GCの長さの比は
△EBG△GBCの面積の比と等しい。つまり、△EBG△GBCの面積比がわかれば、EG:GCが答えられるわけです。しかし残念ながら△EBG△GBCの面積は簡単に求めることができません。

そこで、EとF、FとCをそれぞれつないでみてください。
面積の比がEG:GCの比と等しくなる三角形が、また1組現れました。
△FEG△FGCです。しかしこれらの面積も簡単には求められません。

そしてここでいよいよ加比の理の登場です。
△EBG△GBCの面積の比=EG:GC
△FEG△FGCの面積の比=EG:GC だったでしょう?

だったら、これらをタテに加えた面積の和もEG:GCの比になるはずです。
これぞ加比の理!

△EBG
△FEGを加えると△EBF
△GBC△FGCを加えると△FBC になります。

こうしておくことで、
△EBF△FBCの面積が【底辺×高さ÷2】の公式で簡単に求められるのです。
△EBF=3×5÷2=7.5cm2
△FBC=8×5÷2=20cm2

少し説明に時間がかかりましたけど、ここで答えがわかりました。
EG:GCの長さの比は、
△EBF△FBCの面積の比に等しく7.5:20
この比を整数の比に直して
3:8が解答となります。

***
加比の理を図形の問題に応用する考え方を理解してもらえたでしょうか。
図の中に、面積の比がEG:GCの比になる三角形が3組あって、その中で簡単に面積を求められるのが
△EBF△FBCという仕掛けでした。

また、上の問題は相似を利用するなど他の解き方もありますが、今回紹介した加比の理の考え方はすごくおもしろいし、必ず役に立つときがきますから、しっかりと覚えちゃってくださいね。

現在むかし書いたみんなの算数講座を少しずつ改訂中です。算数の内容に新しいも古いもないのですが、図形を作り直したり、古くなりすぎた雑談の内容などを取り替えています。ボクも改訂をがんばりますから、みなさんも算数がんばってくださいね。

ではまたどこかの講座でお会いしましょう! 風邪引かないでくださいね。


テスト問題を改訂版にリニューアルしました。
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解答、解説は別ページです。問題のページからお進みください。

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