前回の第１講座では約数の個数を求めましたが、今回はそれを応用させて

前回勉強したように、整数720には30個の約数がありました。
初めと終わりの方だけを並べてみると
１　２　３　４　５　６　・・・・・　360　720

今回のテーマは、これらの総和を求めることだから、
１＋２＋３＋４＋５＋６＋・・・・・＋360＋720＝？？？？？

もっと小さい整数で、すべての約数が簡単にわかるなら、それほど大変ではないでしょう。
たとえば８の約数の総和なら１＋２＋４＋８＝15で簡単です。
しかし、720のように大きな整数になると、すべての約数を書き出すことが大変だし、約数の個数が多くなれば、それらをすべて合計する作業も決して楽ではないはずです。

じらすのはやめましょう。
約数の総和も計算式で簡単に求めることができるのです。

ではさっそくそのやり方を説明します。
手順１は前回＜第１講座　約数の個数の求め方＞とまったく同じですよ。

手順１　約数の総和を求めたい整数を素因数分解します。
　　　　720＝（２×２×２×２）×（３×３）×（５）

手順２　それぞれの素数の個数に応じて、下のような計算を行います。
　　　　　メモ
　　　　　 ２^３は２×２×２のように２を３回かけることを表します。算数の範囲ではありませんが、
　　　　　 それほど難しい表し方では ないから、この講座では使うことにします。
　　　　　 また、どんな数でも０乗すると１になります。

　　　　２が４個あるから、２^４から２^０までの和を求めます。
　　　　２^４＋２^３＋２^２＋２^１＋２^０＝16＋８＋４＋２＋１＝31

　　　　３が２個あるから、３^２から３^０までの和を求めます。
　　　　３^２＋３^１＋３^０＝９＋３＋１＝13

　　　　５が１個あるから、５^１から５^０までの和を求めます。
　　　　５^１＋５^０＝５＋１＝６

手順３　それらをかけ算します。
　　　　31×13×６＝2418　→これが720の約数の総和です

720の約数は次に挙げた30個ですから、時間がある人は電卓で確かめてみてください。

１　２　３　４　５　６　８　９　10　12　15　16　18　20　24　30　36　
40　45　48　60　72　80　90　120　144　180　240　360　720

合ってました？　よかったですねぇ。

この理由については、説明を簡潔にするために、720ではなく、もう少し小さい整数で説明します。
12にしましょう。12を素因数分解すると ２×２×３ になります。
さきほどの式で総和を求めると
（２^２＋２^１＋２^０）×（３^１＋３^０）
　＝（４＋２＋１）×（３＋１）＝７×４＝28　→12の約数の総和
12の約数は１　２　３　４　６　12だから、簡単に確かめられますね。
１＋２＋３＋４＋６＋12＝28　合ってます！

では理由に入りますが、12の約数をそれぞれ素因数分解すると次のようになります。
（１、２、３は分解できないからそのまま）

　１
　２
　３
　４＝２×２
　６＝２×３
　12＝２×２×３

これらを、３を含むか含まないかの２つのグループに分け、それぞれ加えてみます。

〔３を含むもの〕
２×２×３＋２×３＋３＝（４＋２＋１）×３
※３＝１×３と考え、（　　）の外に×３をまとめました

〔３を含まないもの〕
２×２＋２＋１＝（４＋２＋１）×１
※上とそろえるために（　　）の外に×１を書きました

改めてこれら２つのグループを加えると、
（４＋２＋１）×３＋（４＋２＋１）×１＝（４＋２＋１）×（３＋１）＝７×４＝28

ほら、最初の説明とまったく同じ式になったでしょう？
ここでは12を例に取りましたが、もっと大きな整数でも、素数の種類が増えても、この理由はいつも同じことです。約数の総和を計算で求める方法を理解してもらえたかな？

＊＊＊
第１講座で約数の個数、第２講座で約数の総和を勉強しましたが、これらの内容をもう少し掘り下げた「約数マトリックス」という図形的な楽しい考え方があります。最高に楽しいです。
それについては拙著「やりなおし算数道場（講談社ブルーバックス）」でくわしく解説しましたから、もしよかったらそちらもお読みいただけたらうれしいです。
メモ 「やりなおし算数道場（講談社ブルーバックス）」については、トップページにリンクがございます。