今回はＮ角形の公式たちです。受験で使うのは〈Ｎ角形の内角の和〉〈正Ｎ角形の１つの内角〉〈Ｎ角形の外角の和〉〈Ｎ角形の対角線の総数〉といったところでしょうか。これらはさすがに覚えておかないと戦えませんよ。


それではまずＮ角形の公式を紹介です。どれも頭にたたきこんでください。
理由はあとで説明します。

使い方の例
五角形ならＮ＝５、六角形ならＮ＝６のように、Ｎにあてはめて計算します。
外角の和は一定の値だから計算する必要がありません。
※外角の和は十五角形でも六十角形でも360°で変わりません。

（例）八角形の内角の和　　　180×（８−２）＝180×６＝1080°
（例）正八角形の１つの内角　1080÷８＝135°
（例）八角形の対角線の総数　８×（８−３）÷２＝８×５÷２＝20本

では、いまの公式を使って計算した三角形〜十二角形の一覧表をどうぞ。こういう一覧表、ありそうであまりありませんよね。
ボクは十二角形で断念しましたが、がんばり屋さんで努力できる人は、ぜひもう少し下まで続けてみてください。何角形まで続けたらギネスブックに乗るかな???(冗談)

さて大事なのは、いまの公式たちの根拠ですね。ではそれぞれの理由を説明していきます。

Ｎ角形の内角の和について

左の図は六角形を４つの三角形に分割した様子ですが、このように
Ｎ角形は必ずＮ−２(個)の三角形に分割
することができて、
三角形の内角の和は180°だから、
Ｎ角形の内角の和は180×（Ｎ−２）°になります。






正Ｎ角形の１つの内角について
正Ｎ角形はすべての角の大きさが等しいＮ角形だから、内角の和180×（Ｎ−２）°をＮで割ればよいですね。

Ｎ角形の対角線の総数について


左の図の六角形で、１つの頂点Ａに集まる対角線は３本です。
頂点Ａから両隣りの頂点と自分自身の３ヵ所には対角線が引けません(×印)　このように
Ｎ角形は１つの頂点にＮ−３(本)の対角線が集まっていて、これに頂点の数ＮをかけるとＮ×（Ｎ−３）
このままだと往復する対角線をダブッて数えているから
Ｎ角形の対角線の総数はＮ×（Ｎ−３）÷２ 本です。

Ｎ角形の外角の和について

外角というのは、内角を180°に延長した外側の角（緑色の角）のことを指します。
上の図の六角形の場合では、６つの頂点に６本の直線があり、合計すると180×６＝1080°です。ここから六角形の内角の和720°（白い角の合計）を引くと、1080°−720°で外角の和は360度になります。

Ｎ角形の場合でも180×Ｎ−180×（Ｎ−２）という式ができて、この式はＮコの180°から、Ｎより２コ少ない180°を引いているから、180°が２コ残って360°となります。
したがって外角の和は何角形であっても一切変わることがありません。

以上で公式の理由の説明を終わりますが、最後にもう１つオマケを追加します。

正Ｎ角形の１つの内角についてですが、内角の和を求めてＮで割るという方法以外に、外角の和（360°）をＮで割って１つの外角を先に求め、それを直線の180°から引くという方法もあります。これを正Ｎ角形の１つの内角を求める〈第二公式〉ということにして、今回の講座をお開きにしようと思います。この講座で解説した内容はいつまでも忘れないでくださいね！
正Ｎ角形の１つの内角〈第二公式〉180−360÷Ｎ（°）

それではみなさん、また次の講座でお会いいたしましょう。元気でね！さようなら。

カーテンコール
タイトルの「Ｎの悲劇」ですが、ＮはもちろんＮ角形のＮ。悲劇はこれを知らなかったら悲劇だゾの悲劇です（笑）読書不足の最近の子供たちにエラリークイーン不朽の名作のタイトルを知ってほしかったという意味もあります。Ｗの悲劇、Ｘの悲劇、Ｙの悲劇etc　みなさん、いつか読んでみてくださいね！