今回の第39講座では、場合の数のなかから、与えられた硬貨によって作ることができる金額のパターンを考えてみたいと思います。一度コツをつかむと簡単に処理できるようになりますよ。


さっそく問題からいきましょう。

買い物ができる金額のパターンを上手に数えるにはこんな感じが一番よいと思います。

500円玉の使い方…２通り。（使わないか１枚使うか）
100円玉の使い方…４通り。（０枚使う〜３枚使う）
10円玉の使い方…６通り。（０枚使う〜５枚使う）

よって、買い物できる金額の種類は２×４×６−１＝48−１＝47通り

いきなり解答を出してしまいましたが、式の意味はわかりましたか？
まず500円玉の使い方を考えると、使わないか１枚使うかのどちらかですよね？　つまり２通りです。
そして100円玉の使い方を考えると、今度は０枚使う、１枚使う、２枚使う、３枚使う　の４通りです。
10円玉の使い方も同様に６通りですが、
大事なのは、それぞれの硬貨の枚数に＋１をしてかけ算するところですね。
500円玉で２通りのどちらを選んでも、100円玉の使い方が４通り。
この時点で２×４＝８通り。
そしてこの８通りのすべてに対して10円玉の使い方が６通りだから、
８×６＝48通りです。

で、最後の−１の意味は、48通りには〈500円玉０枚、100円玉０枚、10円玉０枚〉という
すべての硬貨が０枚で合計０円という１通りがふくまれているのです。買い物の金額として０円は変だから、最後の−１でそれを引いています。

簡単でしたか？　では次はどうでしょう？　問題２です。

さっきと一緒？　いや、微妙に違うのです。何が違うかわかりますか？
え〜とね。問題２では、問題１と違って、同じ金額を作れる硬貨があるんですよ。たとえば、100円玉１枚と50円玉２枚では、両方とも100円になるでしょ？　だから、さっきと同じ方法ではうまくいかないのです。

じゃあどうするかって？
まずは次のような少し強引な方法で解いてみましょう。

同じ金額を作れる硬貨があるので、買い物ができる金額を直接調べてみます。
一番安い買い物金額は、10円玉１枚だけの10円です。
一番高い買い物金額は、全部の硬貨を使ったときの430円です。

百の位がない金額（□０円のような２ケタの金額）
10円〜90円の９通りのうち、40円と90円が作れません。（10円玉が３枚しかないから）
10円　20円　30円　40円　50円　60円　70円　80円　90円　以上７通りです。

百の位が１の買い物金額（１□０円のような金額）
100円〜190円の10通りうち、140円と190円が作れません。
100円　110円　120円　130円　140円　150円　160円　170円　180円　190円
以上８通りです。

百の位が２の買い物金額（２□０円のような金額）
百の位が１の買い物金額と同じ８通りです。

百の位が３の買い物金額（３□０円のような金額）
これも百の位が１の買い物金額と同じ８通りです。

百の位が４の買い物金額（４□０円のような金額）
硬貨を全部使った430円が最高だから、400円　410円　420円　430円の４通りです。

これらをすべて合計して、問題２の答えは
７＋８＋８＋８＋４＝７＋８×３＋４＝35通りです。

この問題２の解き方は、すべてを網羅（もうら）するという意味で安心はできますが、もっと硬貨の枚数が増えたりすると作業が困難になっていきます。
本当は例題２も簡単な計算だけで解決することができるのです。

どうするかというと、100円玉３枚を50円玉６枚に両替してしまうのです。すると問題２は次のような問題に直すことができます。

このように直してみると、これはもう問題１と同じですね。
いや、硬貨が２種類だから問題１よりもっと単純です。
（８＋１）×（３＋１）−１＝35通り
さきほど網羅した解答と同じになりましたね。

今回の講座、いかがでしたでしょうか？
パッと見ると同じように見える問題でも、よく見てみると、異なる硬貨で同じ金額が作れるか作れないかという差があり、後者の場合は両替によってその重複を消しておく必要があるのです。問題１と問題２の違いをきちんと確認してくださいね！

では今回の講座はここまでです。
またなるべく早く次の講座を書きますから、楽しみに待っていてくださいね。