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   みんなの算数講座    第4講座    メネラウスよりも    補助線

お星さまと虹今回の第4講座は図形の問題です。中学校の数学では「メネラウスの定理」を使うことが多いようですが、補助線を引いて解く算数的解法の楽しさを忘れてほしくないところです。


では最初に問題を出しますね。

下の図において、AD:DB=3:4、BC:CE=5:2のとき、
AF:FC(
のところ)を求めてください。
解説図


算数でこの問題を解くときは、ある場所に1本の補助線を引くのですが、じつはその補助線をスッと引ける人が意外と少ないのです。

みなさんはすぐに引けそうですか?
中高生や大学生、オトナの人でも案外マゴマゴしちゃうのではないでしょうか。
ページをしばらく空白にしますので、ちょっと考えてみてください。























正しい補助線は、次の図に点線で示した
DEに平行でCを通る補助線(GC)です。
図形問題の補助線というと、どうしても頂点どうしをつなぎたくなるのが人情のようで、DEの平行線という発想は、なかなか思いつかない人が多いようです。

解説図

この補助線が引けますと、気持ちよく比が移動できるので、問題はグッと楽になり、解答が近づいてきてくれます。

GCとDEが平行だから、BG:GDはBC:CEと等しく5:2です。
赤い数字の比緑色の比に移せるわけです。

重要 下の図でDEとBCが平行なとき、AD:DBとAE:ECは等しい
解説図

さらにもう1組、比を移動します。
この問題で求めたいAF:FC(
のところ)はAD:DGと等しいから、AF:FCを求めるのはAD:DGを求めるのと同じことです。
※つまりAD:DGを求めればこの問題の解答なのです

AD=
です。また、BG:GD=5:2だから、DGはDBの2/7倍。DB=
だから、DG=×2/7=8/7です。

したがって、AD:DG=
8/7 これを整数比に直して21:8が正解となります。
※解説内の分数表記は 分子/分母 です。


平行に引く補助線というのが最大のミソでしたが、この解法はなんとかマスターして使えるようになってほしいです。一度では自信がないという人は、焦る必要はないので、何回か読んでしっかり理解してくださいね。

ところで…

最初にも書きましたが、この問題は中学校で勉強する「メネラウスの定理」が使えます。一応紹介しておきますが、理由もわからない公式をむやみに使うのはよくないから
(理由がわかれば問題ないけど)算数の勉強ではあくまで参考にとどめてくださいね。
まぁそれでも、受験生がメネラウスを使って時間を短縮するのは許しますけどね。図形の補助線のセンスを磨(みが)きたい人は、安易に頼らないようにしてください。

〈参考 メネラウスの定理〉
下の図において、イ/ア×エ/ウ×
カ/オ=1(メネラウスの定理)が成り立ちます。
解説図
メネラウスの定理に問題の数値をあてはめると、
2/7×
エ/ウ×4/3=1より、8/21×エ/ウ=1
よって、エ/ウ=21/8 → エ:ウ(AF:FC)=
21:8

***
しつこいですが最後にもう一度。
中学校で勉強するメネラウスの定理に問題はないけど、やっぱりボクは平行な補助線を引いて、比が等しくなる場所を見つけ、与えられた比を操作しながら解答を求めることをオススメしておきます。
素人が一流シェフのレシピのマネをしても同じ味にならないのは、それ以前に料理のハウツーが不足しているからでしょう。それと同じで、まだ図形に自信のない人が公式を使って答えだけ求めたところで、あまり図形のレベルアップにはつながりませんからね。

算数でもがんばればメネラウスの理由を説明できますから、いつか機会があったら取り上げたいと思います。
基本はあくまで補助線、理由がわかる人はメネラウスもOK。そんな感じで今回の講座は終わりにしたいと思います。


テスト問題を改訂版にリニューアルしました。
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