中学受験 算数家庭教師さんじゅつまんのホームページ さんじゅつまんイラスト
   みんなの算数講座    第42講座    上りと出会い    下りに追い越され


お星さまと虹今回の第42講座では、前回に続いて速さのジャンルから
運行間隔の問題
解説しようと思います。コツさえつかめば簡単なのですが、最初はとっつきにくくて理解に苦しむ人が多いようです。ではさっそくお読みください。


運行間隔の問題とは、こういう問題です。↓

上り下りとも同じ速さ、等しい間隔で運行している電車があります。
線路沿いを走っているクルマが、上り電車と12分ごとに出会い、下り電車に20分ごとに追い越されます。電車やクルマの長さは考えないものとして、次の各問いに答えなさい。
(1)クルマと電車の速さの比を求めなさい。
(2)この電車の運行間隔は何分ですか?

条件の数値が少なくてシンプルな問題でしょう?
でも確かに慣れていないと、どうやって手をつけたらよいか迷ってしまうかもしれませんね。

まず、状況を図に表してみましょう。

解説図

クルマが
青い線、電車が赤い線です。

図(上)の説明
★の位置でクルマと「前の電車」が出会ったとして、
(左に消えていく前の電車は書いてありません)
クルマが「次の電車」に出会うまでに12分かかることを表しています。
(☆印はクルマと「前の電車」が出会ったときの「次の電車」の位置です)

図(下)の説明
★の位置でクルマが「前の電車」に追い越されたとして、

クルマが「次の電車」に追い越されるまでに20分かかることを表しています。
(☆印はクルマが「前の電車」に追い越されたときの「次の電車」の位置です)

さて、上の2つの図を同時によく見ると、
青い線の合計と赤い線の差が等しくなっていることがわかります。

青い線の合計 ⇒ クルマが12+20=32分で進む距離
赤い線の差  ⇒ 電車が20−12=8分で進む距離

つまり、クルマが32分で進む距離と電車が8分で進む距離が等しいのです。

ここで速さの基礎知識
距離が同じなら 所要時間の比と速さの比は逆になる を用いて、

所要時間 クルマ:電車=32:8=4:1より、
速さ   クルマ:電車=
1:4
これで(1)の答えを求めることができました。

(2)で求めるのは電車の運行間隔です。
電車の
運行間隔とは、電車と電車の間隔が何分あいているか、
つまり、
電車と電車の間隔を電車が何分で進むかということです。

電車と電車の間隔は、さきほどの図に示した〈★と☆の距離〉のことです。
上下どちらの図で考えても大丈夫ですが、たとえば上の図で考えるなら、クルマが12分で進む距離を電車は3分
(←等しい距離の所要時間は1/4)で進むから、〈★と☆の距離〉を電車が進む時間は12+3=15分
これが(2)の解答です。(1)が出てしまえば(2)は簡単ですね。
※下の図で考えても同じことです。 クルマが20分で進む距離を電車は5分(20÷4)で進むから、〈★と☆の距離〉を電車が進む時間は20−5でやはり15分です。

***
運行間隔の問題、理解していただけたでしょうか。
問題に出てくる数値が少ないから、大げさな計算が始まるはずはないのですが、初めての人たちに理屈の説明も一緒にやると、けっこう面倒な問題なんですよね。どこの塾でも、塾の先生泣かせの問題かもしれません。
もしよかったら、最後に〈おみやげ公式〉を残しておきますから、受験が近い人などは頭に入れておくと便利だと思います。

ジャーン! 運行間隔問題の<おみやげ公式>
(追い越される時間−出会う時間):(追い越される時間+出会う時間)
 =クルマの速さ:電車の速さ
 


今回の問題なら(20−12):(20+12)=8:32=1:4
速さの比を求めるなら、この式一発でハイ終わりですね!
あ、片方はだいたい電車だけど、もう片方(遅いほう)はクルマとは限らないですよ。そこまで心配するのはボクの仕事じゃないでしょうね。クルマのかわりがバスでもオートバイでも自転車でももちろん同じです。

ではでは今回はこんなところで。
また次回の講座で元気に算数を勉強しましょう! さようなら。


リストマーク
東京近郊で中学受験を目指すお子様への算数家庭教師はさんじゅつまんにお任せください。
ご希望の方は、下記リンク「中学受験算数家庭教師について」をお読みになり、そのページ内に設置してあるフォームよりご連絡ください。事前のお問い合わせも歓迎です。

東京の中学受験 算数家庭教師さんじゅつまん中学受験算数家庭教師についてプロフィール著書目録
みんなの算数講座目次みんなの算数講座テスト問題また来てね問題集正解者発表みなさんのページ
リンク集解答用紙一般のご連絡フォーム家庭教師用ご連絡フォーム