今回から２講座連続でＮ進法について解説したいと思います。
われわれが知らず知らずのうちに洗脳されている数の常識に、疑問を投げかけてみませんか？という内容ですね。


つい、洗脳なんて言葉を使ってしまいました。まぁ洗脳は言い過ぎにしても、この講座での敵は「絶対こうなんだ」という強い思い込みですかね。

え？何のことかって？
われわれは生まれてからず〜っと数は10ずつ束（たば）ねるものだと思い込んでますよね。
１、２、３、４、５、６、７、８、９
ここまでがひとケタの数で、この次が10です。
つまり一の位が９になるとそれが限界で、その次は一の位を０にクリアーし、「１回クリアーしましたよ」という証拠として十の位を１にします。
99まで進むと十の位も限界だから、百の位を１として下位の位はすべてクリアーします。99の次は100ですね。
こうした位取りの仕組みが、10を１つの束と考える10進法です。

もちろん、日常生活では10進法を使っていて、ほとんど困ることはありません。だって世界中が10進法に洗脳されちゃってますからね。
あれこれ身の回りを探してみても、純粋な10進法といえないのは時間くらいかな。９時59分から５分たつと10時４分。60以上の整数を使わずに単位を変えるから、これはちょっと普通の10進法とは違うかもしれない。
それでも、時間を読むときは、にじゅうさん分（23分）さんじゅうろく秒（36秒）など、普通の10進法と同じように読むから、60以上の数が使われないだけで、それほど強く違和感を感じることはないでしょう。

が、しかし

算数や数学の世界では、もっと明確に10を１つの束としない考え方が存在します。読み方も10進法とは違いますよ。10進法以外の数は、たとえば125は「いちにーご」のように棒読みすることになっています。

一般にはＮ進法と呼ばれていて、実用性は薄いかもしれませんが（入試にはよく出ますよ）アタマの体操にはもってこいの楽しい考え方です。
ではいくつかの例で説明しますが、数を10ずつ束ねていくという発想、数字は０から９までという常識は、しばらく捨てておいてくださいね。

では、Ｎ進法の例として２進法、５進法を解説することにします。

２進法
０と１だけを用いて数を表していきます。
10進法は各位９がMAXでしたが、２進法では各位１がMAXです。つまり１の次は早くも10。
その次の11は普通ですが、２進法の11は10進法の99と同じだから、次は100になります。

１、10、11、100、101、110、111、1000、1001、1010、
1011、1100、1101、1110、1111、10000、・・・

５進数
０〜４までを用いて数を表していきます。各位のMAXは４です。

１、２、３、４、10、11、12、13、14、20、21、22、23、24、
30、31、32、33、40、41、42、43、44、100、・・・

この２つの例でおわかりいただけたと思いますが、Ｎ進法とは（Ｎ−１）までの数字を使って数を表していく方法です。
※Ｎまでの数字ではありません。たとえば５進法は４までの数を使います。

10進法で９が各位の限界であったように、２進法では１が各位の限界、５進法では４が各位の限界です。
10進法…99＋１＝100　２進法…11+１＝100　５進法…44+１＝100

さて次に、こうしたＮ進法で表された数が普通の10進法のいくつにあたるのか？という変換について、具体的な問題を使って説明します。
※逆の変換10進数→Ｎ進数は次回後編で扱います

10進法の位取りが下位から順に
１の位、10の位、10²（＝100）の位、10³（＝1000）の位、10⁴（＝10000）の位、…
となっているのと同じように、

２進法の位取りは下位から順に
１の位、２の位、２²（＝４）の位、２³（＝８）の位、２⁴（＝16）の位、…

５進法の位取りは下位から順に
１の位、５の位、５²（＝25）の位、５³（＝125）の位、５⁴（＝625）の位、…
となっています。

下の表を見てください。
問題の数と、各位の位取りを対応させています。※上位の位が左側です

Ｎ進法の数を10進法の数に変換するときは、
各位の数と位取りをかけたものをすべて合計します。
※０になっている位は無視してよいでしょう。

(1)
２^４×１＋２^３×１＋２×１
＝16×１＋８×１＋２×１＝16＋８＋２＝26　←答え

(2)
５^３×３＋５^２×４＋１×１
＝125×３＋25×４＋１×１＝375＋100＋１＝476　←答え


ここまでどうですか？　難しくないでしょう？　じゃあもう少し話を続けます。

Ｎ進法にはＮが10より大きい16進法などもあります。16進法はコンピューターの内部記憶などで使われることがありますね。
パソコンをよく使う人なら、なにかのときに 3A60 のようなアルファベットと数字の混じった数を見たことがないでしょうか？おそらくそれ、16進法の数だったんじゃないかな。

10進数が０から９までの連続した10コの数字を使うように、16進数の場合、０からの連続した16コの数字が必要です。
といっても、０、１、２、３、４、５、６、７、８、９、10、11、12、13、14、15
ではありません。
10〜15のような２ケタの整数は、各位に収める数字として適切ではないから、10〜15をＡ〜Ｆに置きかえて、
０、１、２、３、４、５、６、７、８、９、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ
という16コの数字を使います。

ではさっきの問題に続けてもう一問。

もう大丈夫でしょうね。
(1)２進法、(2)５進法の問題と同じように考えてください。
ただし、計算の際にＦ＝15、Ｂ＝11と直す必要がありますよ。

16^３×５＋16^２×Ｆ＋16×２＋１×Ｂ
＝4096×５＋256×15＋16×２＋１×11
＝20480＋3840＋32＋11＝24363　←　（３）答え

＊＊＊
お疲れさまでした。
10を束とする発想を打ち破るＮ進法（前編）、理解してもらえたでしょうか。
今回説明した内容は、算数だけでなく、中学や高校の数学でも必ず活きてきます。
もし忘れたら、またこのページを読みにきてくださいね。
ずっーとここに置いてありますから;^^)

では次回の後編で、今回と逆、10進法の数をＮ進数の数に変換する方法を取り上げたいと思います。じゃあそのときまた元気でお会いしましょうね。