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   みんなの算数講座    第50講座    常識を打破しよう    N進法(前編)


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お星さまと虹今回から2講座連続で
N進法について解説したいと思います。
われわれが知らず知らずのうちに洗脳されている数の常識に、疑問を投げかけてみませんか?という内容ですね。


つい、洗脳なんて言葉を使ってしまいました。まぁ洗脳は言い過ぎにしても、この講座での敵は「絶対こうなんだ」という強い思い込みですかね。

え?何のことかって?
われわれは生まれてからず〜っと数は10ずつ束(たば)ねるものだと思い込んでますよね。
1、2、3、4、5、6、7、8、9
ここまでがひとケタの数で、この次が10です。
つまり一の位が9になるとそれが限界で、その次は一の位を0にクリアーし、「1回クリアーしましたよ」という証拠として十の位を1にします。
99まで進むと十の位も限界だから、百の位を1として下位の位はすべてクリアーします。99の次は100ですね。
こうした位取りの仕組みが、10を1つの束と考える10進法です。

もちろん、日常生活では10進法を使っていて、ほとんど困ることはありません。だって世界中が10進法に洗脳されちゃってますからね。
あれこれ身の回りを探してみても、純粋な10進法といえないのは時間くらいかな。9時59分から5分たつと10時4分。60以上の整数を使わずに単位を変えるから、これはちょっと普通の10進法とは違うかもしれない。
それでも、時間を読むときは、にじゅうさん分(23分)さんじゅうろく秒(36秒)など、普通の10進法と同じように読むから、60以上の数が使われないだけで、それほど強く違和感を感じることはないでしょう。

が、しかし

算数や数学の世界では、もっと明確に
10を1つの束としない考え方が存在します。読み方も10進法とは違いますよ。10進法以外の数は、たとえば125は「いちにーご」のように棒読みすることになっています。

一般には
N進法と呼ばれていて、実用性は薄いかもしれませんが(入試にはよく出ますよ)アタマの体操にはもってこいの楽しい考え方です。
ではいくつかの例で説明しますが、数を10ずつ束ねていくという発想、数字は0から9までという常識は、しばらく捨てておいてくださいね。

では、N進法の例として
2進法5進法を解説することにします。

2進法
0と1だけを用いて数を表していきます。
10進法は各位9がMAXでしたが、2進法では各位1がMAXです。つまり1の次は早くも10。
その次の11は普通ですが、2進法の11は10進法の99と同じだから、次は100になります。

1、10、11、100、101、110、111、1000、1001、1010、
1011、1100、1101、1110、1111、10000、・・・

5進数
0〜4までを用いて数を表していきます。各位のMAXは4です。

1、2、3、4、10、11、12、13、14、20、21、22、23、24、
30、31、32、33、40、41、42、43、44、100、・・・

この2つの例でおわかりいただけたと思いますが、N進法とは
(N−1)までの数字を使って数を表していく方法です。
※Nまでの数字ではありません。たとえば5進法は4までの数を使います。

10進法で9が各位の限界であったように、2進法では1が各位の限界、5進法では4が各位の限界です。
10進法…99+1=100 2進法…11+1=100 5進法…44+1=100

さて次に、こうしたN進法で表された数が
普通の10進法のいくつにあたるのか?という変換について、具体的な問題を使って説明します。
※逆の変換10進数→N進数は次回後編で扱います

N進法の数を10進法の数に変換する問題です。
(1)2進法の11010を10進法の数に直しなさい。
(2)5進法の3401を10進法の数に直しなさい。

10進法の位取りが下位から順に
1の位、10の位、102(=100)の位、103(=1000)の位、104(=10000)の位、…
となっているのと同じように、

2進法の位取りは下位から順に
1の位、2の位、22(=4)の位、23(=8)の位、24(=16)の位、…

5進法の位取りは下位から順に
1の位、5の位、52(=25)の位、53(=125)の位、54(=625)の位、…
となっています。

下の表を見てください。
問題の数と、各位の位取りを対応させています。
※上位の位が左側です

(1)
2進法
位取り
(2)
5進法
位取り


N進法の数を10進法の数に変換するときは、
各位の数と位取りをかけたものをすべて合計します。
※0になっている位は無視してよいでしょう。

(1)
×1+2×1+2×1
=16×1+8×1+2×1=16+8+2=
26 ←答え

(2)
×3+5×4+1×1
=125×3+25×4+1×1=375+100+1=
476 ←答え


ここまでどうですか? 難しくないでしょう? じゃあもう少し話を続けます。

N進法にはNが10より大きい
16進法などもあります。16進法はコンピューターの内部記憶などで使われることがありますね。
パソコンをよく使う人なら、なにかのときに 3A60 のようなアルファベットと数字の混じった数を見たことがないでしょうか?おそらくそれ、16進法の数だったんじゃないかな。

10進数が0から9までの連続した10コの数字を使うように、16進数の場合、0からの連続した16コの数字が必要です。
といっても、0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15
ではありません。
10〜15のような2ケタの整数は、各位に収める数字として適切ではないから、10〜15をA〜Fに置きかえて、
0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F
という16コの数字を使います。

ではさっきの問題に続けてもう一問。

(3)16進法の数5F2Bを10進法の数に直しなさい。

もう大丈夫でしょうね。
(1)2進法、(2)5進法の問題と同じように考えてください。
ただし、計算の際にF=15、B=11と直す必要がありますよ。

16×5+16×F+16×2+1×B
=4096×5+256×15+16×2+1×11
=20480+3840+32+11=
24363 ← (3)答え

***
お疲れさまでした。
10を束とする発想を打ち破るN進法(前編)、理解してもらえたでしょうか。

今回説明した内容は、算数だけでなく、中学や高校の数学でも必ず活きてきます。
もし忘れたら、またこのページを読みにきてくださいね。
ずっーとここに置いてありますから;^^)

では次回の後編で、今回と逆、10進法の数をN進数の数に変換する方法を取り上げたいと思います。じゃあそのときまた元気でお会いしましょうね。


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正解者のニックネームを〈みなさんのページ〉で発表しています。


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