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   みんなの算数講座    第56講座    負傷者と    生存者の数

お星さまと虹今回の講座は、立方体を積み上げるところまでは第15講座と似ています。
第15講座では色塗りでしたが、今回は包丁(ほうちょう)で切って、壊れたのか無事なのかを考えます。面白い問題ですよ。


では少しだけ得意の前置きから…。

図形の講座を書くときは、一つのソフトではできません。文字を入力するソフトとは別に図形作成ソフトも使います。最初はなかなか慣れませんでしたから、昔書いた講座などを見ると、かなりヘタだったなぁ〜と自分で思います。
まぁそれも思い出?
いまでもプロの人に比べたら全然ダメでしょうけど、昔に比べたらだいぶうまく書けるようになってきました。ときにはちょっと失敗の図になっちゃうかもしれませんが、シロートなりに なるべく見やすく作っていきたいと思います。まだまだうまくなれるかな???

さて今回の問題です。

問題図
左図のように64個(4×4×4)の小立方体を積み上げて作った大きな立方体があります。
この大きな立方体を3点ABCを通る
平面で切断します。
(切り口は正三角形)

このとき、64個の小立方体のうち、
壊れるもの(負傷者)と
無傷なもの(生存者)は
それぞれ何個ですか?



みなさんならこの問題、どう考えますか?
なんとなく見た目で判断しようととすると、けっこう頭がこんがらがります。ハッキリと負傷、生存が確認できるものもあるけど、こいつはどっちだろう?って悩んでしまう微妙なものもいくつかあります。かなり空間センスのある人でも、見た目で答えを出すのは大変でしょう。

オススメはこんな考え方。

解説図
このように、真上から見た平面図を書き、切断面の移動を斜め線で記入します。
※よほど複雑な問題でなければ1枚の平面で足りるでしょう。
切断面は一番上の段を斜め線@から切り始め、斜め線Aまで進んだときに一番上の段を切り終えます。
したがって、一番上の段の負傷者は斜め線@とAの間にある7個です。



切断面は上から二段目を斜め線Aから切り始め、斜め線Bまで進んだときに、上から二段目を切り終えます。上から二段目の負傷者は、斜め線AとBの間にある5個です。

このあとも同じです。
切断面は上から三段目を斜め線Bから切り始め、斜め線Cまで進んだときに、上から三段目を切り終えます。上から三段目の負傷者は、斜め線BとCの間にある3個です。

一番下の段は、切断面が斜め線Cから切り始め、最後は頂点Cに抜けていきます。一番下の段の負傷者は、斜め線Cより下にある1個です。

以上のことから、負傷する小立方体は全部で 7+5+3+1=
16個
全体の個数から引き算して、生存している小立方体は 64−16=
48個 となります。

切断面を斜め線で追いかける考え方 楽しいでしょう?
もっとも上の問題は、全体が4×4×4の立方体になっていて、切断面が中途半端な場所を通らないから、空間センスのある人や勘(かん)のいぃ人なら、見た目だけでわかっても不思議ないかもしれません。

でも全体の形が変わってくると、見た目での判断はもっと難しくなりますよ。
たとえばこんなの↓

問題図
さきほどと同じようにABCを通る平面で切断したとき、負傷者と生存者の個数をそれぞれ求めてください。

今度は最初の問題と違い、全体が立方体ではないため、切断面が、小立方体の頂点ではない中途半端な箇所を通ります。全体の個数は2×4×3=24個でさっきより少ないですが、見た目での判断はこちらの方が難しいでしょう。

やはりさきほど解説した、上から見た平面を書いて切断面を追いかける方法がよいですね。
解説図

の印は、AB、BCをそれぞれ3等分している意味です。

切断面は、一番上の段を斜め線@から切り始め、斜め線Aまで進んだときに一番上の段を切り終えます。一番上の段の負傷者は斜め線@とAの間にある6個です。

切断面は、上から二段目を斜め線Aから切り始め、斜め線Bまで進んだときに上から二段目を切り終えます。上から二段目の負傷者は、斜め線AとBの間にある4個です。

切断面は、一番下の段を斜め線Bから切り始め、最後は頂点Cに抜けます。一番下の段の負傷者は、斜め線Bより下にある2個です。

以上のことから、負傷する小立方体は全部で 6+4+2=
12個
全体の個数から引き算して、生存している小立方体も 24−12=
12個 です。

以上立体切断戦争における負傷者と生存者数のレポートでした(笑)

どうでしたか? よくわかったって? それはきっとボクの説明がうま…
  じゃなくて、みなさんが算数に強くなっている証拠でしょうね。もう56個目の講座ですもん。

小学生の算数でも、中高生の数学でも、生徒の理解がもっとも悪いのはなんといっても空間図形の問題です。立体という高さを持ったものを、無理して平面に収めて考えてますから、難しいのは当たり前かもしれませんね。
しかし入学試験では限られたパターンの問題しか出ませんから、ひととおりのパターンを勉強しておけば、そんなに困ることはないと思います。

***
たくさんの講座を書いています。算数、大好きになってくださいね。
いまの生徒さんには夢がある.....将来、総理大臣目指したって、宇宙飛行士目指したって、アナウンサー目指したって、何を目指したって自由だよね。夢が持てていいなぁ.....
ボクがいまそんなことを口に出したら、大丈夫???熱でもある???体温計持ってこようか???ってなっちゃいますでしょ?
あ〜あ〜、こうしていつも脱線していくさんじゅつまんの授業。でも間違いなく確かな算数を楽しく伝えております。算数の力がみなさんの将来の夢を叶えるお手伝いをしますように!!!

ではまた次回、なるべく近いうちに!


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