過去問PART1

冬至 右図のように、１辺の長さが４cmの立方体の各面の対角線の交点をとり、それらを頂点とする立体(正八面体)を作ります。この立体の体積を求めてください。 大雪 9を連続する整数の和(整数の個数は2個以上なら自由)で表す方法は[4+5]と[2+3+4]の2通りがあります。では81を連続する整数の和で表す方法は何通りありますか？上のように式とともに答えてください。 小雪 次のように２ケタの同じ数どうしをかけて、できた４ケタの数の中央の２ケタを取り出して新しい数とすることを繰り返します。 たとえば最初の数が65のとき、 65×65＝4225 ⇒2番目の数は22 22×22＝484 ⇒これは0484と考えて3番目の数は48 48×48＝2304 ⇒4番目の数は30 最初の数(1番目の数)が79のとき、999番目の数を求めてください。 立冬 ４つの整数Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄがあります。これらは次の５つの条件をすべて満たしています。 �@Ａは１以上　�AＤは３以下　�BＡはＢ以下　�CＢはＣ以下　�DＣはＤ以下 Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄの組合せは全部で何通り考えられますか？が 霜降 ケーキが入った箱が17箱あります。箱の大きさによって３個入り、５個入り、７個入りの３種類があり、ケーキは全部で73個あります。あるレストランの注文でケーキが65個必要になったので、３個入りの箱をすべて２個入りにしたところ、ちょうど65個にすることができました。箱はそれぞれ何箱ずつありましたか？ 寒露 大人４人でやると10日かかる仕事を、大人2人と子供４人でやると16日かかります。この仕事を大人９人と子供８人でやると何日かかりますか？ 秋分 ある学校で卒業文集を作ることになり、印刷屋さんに相談しました。はじめの50冊は1冊につき200円、51冊目から80冊目までは1冊につき180円、81冊目から120冊目までは1冊につき150円、121冊目からは1冊につき110円でできると言われました。全部で何冊頼んだとき、1冊につきちょうど150円になりますか？ 白露 分母が2014である2013個の真分数(分子が分母より小さい分数)があります。 1/2014　2/2014　3/2014　………　2012/2014　2013/2014 このなかで約分することができる分数は全部で何個ありますか？ 【ヒント】2014を素因数分解すると2×19×53です。 処暑 ５個のマンゴーと７個のパパイヤがあります。これら12個の果物をＡ,B,C,Dの4人に3個ずつ分ける方法は全部で何通りありますか？ 立秋 ある仕事をＡさん１人でやると12時間かかり、ＡさんとＢさんの２人でやると４時間かかり、ＢさんとＣさんの２人でやると２時間かかります。最初Ｂさんがこの仕事の４分の１を１人で仕上げ、残りの仕事をＡさんとＣさんの２人で仕上げました。最初からかかった時間は何時間何分ですか？ 大暑 分数を＊/＊(分子/分母)のように表記します。紙に書いてお考えください。 1より小さい分数が下のようにある規則にしたがって並んでいます。100番目の分数を求めてください。 1/3　2/3　1/9　2/9　4/9　5/9　7/9　8/9　1/27　2/27　4/27　5/27……… 小暑 Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄ,Ｅの５人が５脚の椅子に横一列で座っています。これから座り方を変えようとしていますが、５人全員が今とは違う椅子に座る座り方は何通りありますか？ 夏至 分数を「…分の…」のように書きますので、紙に書いてお考え下さい。 「□分の５」と「５分の□」をたすと「３分の△」になります。□と△はともに整数ですが、△は３の倍数ではありません。△にあてはまる最も小さい整数を求めてください。 (注)２ヶ所の□には同じ整数が入ります。 芒種 箱の中に白玉と赤玉が2:1の割合で入っています。広場にいる子供たちに白玉を7個ずつ、赤玉を2個ずつ配ると、白玉はちょうどなくなり、赤玉は12個余りました。広場にいる子供たちは何人ですか？ 小満 容器Ａには400g、容器Ｂには600gの濃さのちがう食塩水がそれぞれ入っています。いま容器Ａの食塩水の半分の量を容器Ｂに入れて混ぜ合わせ、次に容器Ｂの食塩水の半分の量を容器Ａに入れ混ぜ合わせました。結果、容器Ａの食塩水の濃度が9％、容器Ｂの食塩水の濃度が10％になりました。最初の食塩水Ａ、Ｂの濃度はそれぞれ何％でしたか？ 立夏 あるビルのエレベーターは1階分上がるのに6秒、各階に停止したときは12秒止まります。途中の階で下がることはなく、開閉の延長や短縮もできません。 (1)　6階でとびらが閉まってから11階でとびらが閉まるまでのエレベーターの上がり方は全部で何通りですか？ (2)　(1)のそれぞれにかかる時間の総和は何分何秒ですか？ 穀雨 ある小学校の移動教室では、割り当てられた部屋数が決められていました。その部屋数は6人部屋、7人部屋、8人部屋があわせて17室あります。これらの部屋を全部使用すると120人収容できます。ところが学校の生徒数が130人のため、6人部屋を7人、7人部屋を8人としたら、ちょうど全員収容することができました。6人部屋、7人部屋、8人部屋の部屋数をそれぞれ求めてください。 清明 2014年の4月5日は土曜日でした。2014年の次に4月5日が土曜日になるのは西暦何年ですか？ 春分 3ケタの整数の各位の数字の和を計算します。たとえば3ケタの整数が134なら1+3+4＝8という要領です。この和が24より小さくなる3ケタの整数は全部で何個ありますか？ 啓蟄 1から1000までの整数のうち、566や646のように、6という数字が2個でてくる整数をすべて加えるといくつになりますか？ 雨水 下から上まで7段の階段があります。この階段を下から上までのぼるときに、1歩でのぼれる段数は1段、2段、3段のいずれかであるものとします。この階段ののぼり方は全部で何通りありますか？　たとえばすべて1段ずつのぼる〈1段-1段-1段-1段-1段-1段-1段〉のようなのぼり方が1通りののぼり方です。 立春 ある3ケタの整数Ａがあります。Ａに12を加えると13で割り切れ、Ａに18を加えると19で割り切れます。また、Ａの百の位と一の位の数字を入れかえると、Ａより小さくなります。整数Ａを求めてください。 大寒 1円玉2枚、5円玉2枚、10円玉3枚、50円玉1枚があります。この硬貨を1枚以上使ってちょうど払える金額は何通りありますか？ 小寒 ４つの異なる整数があり、このうち１つだけが偶数です。４つの整数の中から異なる２つの整数を選んで和を求めると21,24,26,27,29,32になります。はじめの４つの整数を求めてください。 冬至 ある仕事をA、Bの２人が力を合わせてすると、Aは１人でするときよりも１割多くの仕事ができ、Bは１人でするときよりも２割多くの仕事ができます。この仕事をA、B２人で６時間働いて全体の2/5(5分の2)を仕上げ、翌日はBが１人で６時間働きました。それでもまだ全体の13/30(30分の13)が残っています。A1人でこの仕事をすると何時間かかりますか？ 大雪 水卜さんは徒歩でA地点からB地点までを往復しました。行きは40分ごとに5分の休けいをし、3時間26分でB地点に着きました。帰りは2倍の速さで歩き、30分ごとに5分の休けいをしながらA地点に帰りました。帰りは何時間何分かかりましたか？ 小雪 ある小数を別の小数でわります。商を１の位まで求めるとあまりは3.6です。わりきれるまで計算すると商は12.8です。このわり算の式を考えてください。 冬至解答　10と2/3ｃｍ3 冬至解説　 上下２個の正四角すいに分けて捉え、それらの合計として体積を計算します。＊上下の正四角すいは合同な立体です 上下に分けたときの境界にあたる正方形を底面と考えます。この正方形の面積は立方体の表面にある正方形の面積の半分です。＊立方体の表面の正方形の各辺の中点をつないだ形 また、上下の正四角すいの高さはそれぞれ２cmですが、２個合わせて４cmと考えてかまいません。すいの体積だから最後に1/3をかけることを忘れないでください。 (４×４×1/2)×４×1/3＝32/3＝10と2/3ｃｍ3 大雪解答　４通り[40+41][26+27+28][11+12+13+14+15+16][5+6+7+8+9+10+11+12+13] 大雪解説 以前「みんなの算数講座」で取り上げたことがある問題でした。 一般に、ある整数を連続する整数の和で表すことができるパターン数は、その整数が持つ1以外の奇数の約数の個数と等しくなります。 81の約数は1,3,9,27,81の５個ですが、このうち1を除外した４通りが解答になります。 具体的には上の解答に示したようになります。くわしい考え方については第55講座をお読みになってください。 小雪解答　57 小雪解説 易しい周期算の問題でした。 現れる数の番号としてマル囲み数字を用います。 �@79 �A79×79＝6241→24 �B24×24＝0576→57 �C57×57＝3249→24 以下、偶数番目は24、奇数番目は57を繰り返すことになり、999(奇数)番目の数は57です。 立冬解答　15通り 立冬解説 この問題の題意は次のように捉えることができます。 「1,2,3の数字を使い、右側の数字が左側の数字より小さくならないように４ケタの整数ABCDを作る。」 この条件を満たす４ケタの整数ABCDを小さい順に考えていきます。 A=1のとき、 1111　1112　1113　1122　1123　1133 1222　1223　1233　1333　(10通り) A=2のとき、 2222　2223　2233　2333　(4通り) A=3のとき、 3333　(1通り) これらを合計して、求める解答は15通りです。 霜降解答　３個入り…８箱、５個入り…７箱、７個入り…２箱 霜降解答 ３個入りの箱を２個入りに変えたことで収まったケーキの総数が8個(＝73−65)減っているから、３個入りの箱が８箱だったことがわかります。 すると５個入りと７個入りの箱の合計が９箱(＝17−８)、収まっているケーキの数が49個(＝73−３×８)とわかります。 紫色で示した条件を使ってつるかめ算を解くと、５個入りの箱が７箱、７個入りの箱が２箱と求めることができます。 ＊つるかめ算についてはこちらの復習記事をどうぞ！ 寒露解答　4日 寒露解説 大人１人が１日かかる仕事量を１とすると、大人４人が10日かかる仕事量は４×10＝40です。 これと同じ仕事を大人２人と子供４人で16日かかるから、大人２人の16日分(２×16＝32)を差し引くと、残りの仕事は８(＝40−32)となり、これは子供４人が16日かかった仕事量です。 したがって子供１人の１日分の仕事量は８÷(４×16)＝8/64＝1/8です。 大人９人と子供８人が１日でする仕事量は１×９＋1/8×８＝９＋１＝10だから、40の仕事を終えるには40÷10＝４日かかることになります。 秋分解答　205冊 秋分解説　 冊数がわかっている120冊までの部分で、1冊あたりの平均の値段を計算します。 200円×50冊＋180円×30冊＋150円×40冊＝10000円＋5400円＋6000円＝21400円 21400円÷(50冊＋30冊＋40冊)＝21400円÷120冊＝〈21400/120〉円＝〈178と1/3〉円 ここからは平均算と呼ばれる面積図を使った考え方が便利です。 この面積図は、上で計算した1冊〈178と1/3〉円の文集120冊と、その先で追加する1冊110円の文集？冊をトータルして、平均の値段が150円になった様子を表しています。 アの部分の面積がイの部分に押し込まれて全体が平均化されたと考えることができ、アの面積とイの面積は等しくなります。 アの面積…〈28と1/3〉円×120冊＝3400円 イの面積もこれと等しいから、イのヨコの長さ(？円)は3400÷40＝85冊 この85冊は120冊を超えて110円で作る文集の冊数です。 求めるのは作る文集の総冊数だから、これに120冊を加えて205冊が正解となります。 白露解答　1077個 白露解説 オーソドックスな解法から紹介します。解説(計算)の都合上、一番最後に2014/2014を補って考えます。解答では除外しますからご安心ください。割られる数を2013にすると各所で計算が大変です(´∀｀) 約分できる分数とは、分子が2または19または53の倍数になっているものです。 1から2014の分子のうち、それぞれの倍数の個数を考えます。 2の倍数の個数…2014÷2＝1007個(ア) 19の倍数の個数…2014÷19＝106個(イ) 53の倍数の個数…2014÷53＝38個(ウ) (ア)(イ)(ウ)の合計は1007＋106＋38＝1151個(A)ですが、この個数には公倍数の重複があります。たとえば2と19の公倍数は(ア)と(イ)の両方でカウントされています。 そこで(A)の個数から公倍数の個数を引き算することになります。 2と19の公倍数(38の倍数)の個数…2014÷38＝53個(エ) 2と53の公倍数(106の倍数)の個数…2014÷106＝19個(オ) 19と53の公倍数(1007の倍数)の個数…2014÷1007＝2個(カ) (エ)(オ)(カ)の合計は53+19+2＝74個で、これを(A)から引くこことで公倍数の重複がなくなります。 1151ー74＝1077個←公倍数の重複を消した個数 じつはこの引き算によって、(ア)(イ)(ウ)の3者に共通な公倍数が含まれなくなっているのですが、(ア)(イ)(ウ)の3者に共通な公倍数とはすなわち2014自身のことで、問題の意図では分子の2014は除かれているから、この分(1個)を加える必要はなく、上の1077個が解答になります。 裏技!!! この問題では、約分できない分子の個数を簡単に求める計算式が有名です。 1〜2014の分子のうち、2の倍数ではない数の存在頻度は1/2、19の倍数ではない数の存在頻度は18/19、53の倍数ではない数の存在頻度は52/53だから、 2014×(1/2)×(18/19)×(52/53)＝936個←約分できない分子の個数 これを2014から引いて、約分できる分子の個数は2014ー936＝1078個です。ただしこれは問題の意図に含まれない分子2014をカウントしているから、解答はさらに1個を引いて1077個となります。 (注意)この計算式は青色の部分にオレンジ色の整数の最小公倍数を置く必要があります。 処暑解答　40通り 処暑解説 このタイプの問題は少ない方に注目！が使えます。７個のパパイヤは無視して、５個のマンゴーの分け方を考えれば解決です。マンゴーの分け方が決まれば、それは同時にパパイヤの分け方も決めていることになるのです。だからマンゴーの分け方だけを考えればOKです。 まず４つの整数の和が５になるパターンを考えてみます。その際、１人が受け取る果物が３個であることから、０〜３の数字を使うことになります。 その条件下で、４つの整数の和が５になるパターンは次の通りです。 ア…(3,2,0,0) イ…(3,1,1,0) ウ…(2,2,1,0) エ…(2,1,1,1) 次にア〜エのそれぞれについて、各数字をABCDの４人に割り当てることを考えます。 アの割り当て方…12通り(3になる人がABCDの４通り、そのそれぞれについて2になる人が３通りずつ。４×３＝12通り) イの割り当て方…アと同様に12通り(3になる人が４通り、0になる人が３通り) ウの割り当て方…アと同様に12通り(1になる人が４通り、0になる人が３通り) エの割り当て方…４通り(2になる人がABCDの誰か) ＊青い数字がマンゴーを受け取る個数で、3個に不足する分はパパイヤを受け取ることになります。また、ア〜ウの割り当てに共通ですが、４つの数字が□◇☆☆ようになっている場合、☆のことは気にせず、□と◇になる人を考えればOKです。 以上ア〜エの合計から、求める解答は12×3＋4＝40通りです。 立秋解答　3時間18分 立秋解説 3つの所要時間(12時間、4時間、2時間)の最小公倍数を用いて、この仕事の総量を12とします。 Aさんの仕事量は1時間あたり12÷12時間＝1…ア AさんBさんの共同作業における仕事量は1時間あたり12÷4時間＝3…イ BさんCさんの共同作業における仕事量は1時間あたり12÷2時間＝6…ウ　です。 Bさんの1時間あたりの仕事量はイ−ア(3−1)より2…エ Cさんの1時間あたりの仕事量はウ−エ(6−2)より4…オ AさんCさんの共同作業における仕事量は1時間あたりア＋オ(1+4)より5　です。 仕事全体(12)の4分の1は3であり、その仕事をBさん1人が行うと3÷2より1.5時間かかります。残りの仕事は9(12−3)であり、その仕事をAさんCさんの2人が行うと、9÷5より1.8時間かかります。 求める解答は1.5+1.8＝3.3時間。指定の単位に直して3時間18分となります。 大暑解答　29/243 大暑解説 分母には3,9,27,…のように3をいくつかかけ算した整数(3の累乗数)が小さい順に現れ、分子は既約分数(それ以上約分できない分数)になる整数だけが小さい順に現れています。ただし、分子が分母より小さい分数(真分数)が対象です。仮分数は考えていません。 分母が3の既約真分数は問題の例示のように2個です。 分母が9の既約真分数は問題の例示のように6個です。 以下、分母が27(＝3×3×3)の既約真分数、続いて分母が81(＝3×3×3×3)の既約真分数の個数を検討します。 ［分母が27の既約分数］ 1〜26の分子のうち、3の倍数は26÷3＝8あまり2より8個だから、既約分数の個数は26−8＝18個です。 ＊分子1〜27について、3の倍数は3個に1個の割合だから、27×2/3＝18個が既約分数と考えると早いでしょう。 ［分母が81の既約分数］ 分子1〜81について、3の倍数は3個に1個の割合だから、81×2/3＝54個が既約分数です。 ここまでの検討で、既約真分数の個数(上の青数字の合計)は80個です。 したがって100番目の分数は、分母が243のグループの20番目の分数です。 3の倍数を除外した分子を並べてみると、 1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20,22,23,25,26,28,29,…のようになり、20番目の分子が29であることがわかります。求める解答は29/243です。 小暑解答　44通り 小暑解説 解説の便宜上アルファベットＡ,Ｂ,Ｃ,Ｄ,Ｅを整数1,2,3,4,5で置き換え、「5ケタの整数12345の並びかえで、どの位においてももとの整数(12345)と数字が一致しない整数」を考えます。 ［1つの数字だけが一致するケース］ 1----のように1だけが一致する整数は 13254,13452,13524,14253,14523,14532,15234,15423,15432の9通りです。同様に-2---、--3--、---4-、----5も各9通りで、1つの数字だけが一致するケースは45通りです。 ［2つの数字が一致するケース］ 12---のように2つの数字が一致する整数は12453,12534の2通りです。 12---、1-3--など、2つの数字の一致パターンは「5つの整数から2つの整数を選ぶ組合せ」の10通りで、2つの数字が一致するケースは2×10＝20通りです。 ［3つの数字が一致するケース］ 123--のように3つの数字が一致する整数は12354の1通りです。 123--、12-4-など、3つの数字の一致パターンは「5つの整数から3つの整数を選ぶ組合せ」の10通りで、3つの数字が一致するケースは1×10＝10通りです。 4つの数字が一致するケースはありません。←4つ一致すれば5つ目も一致してしまうから 5つの数字が一致する整数(すべて一致)は12345の1通りで、以上青色の場合の数をすべて加え、どこかで数字が一致する整数は全部で45+20+10+1＝76通りです。 5ケタの整数の並びかえは全部で5×4×3×2×1＝120通りだから、どの位においても12345と数字が一致しない整数は120-76＝44通りです。 夏至解答　10 夏至解説 「□分の５」＋「５分の□」を分母(□×５)で通分して加えると、「(□×５)分の(25＋□×□)」となります。 これが３分の△と等しいから、「Ａ分のＢ」＝「Ｃ分のＤ」のときＡ×Ｄ＝Ｂ×Ｃを利用して、 □×５×△＝(25＋□×□)×３　すなわち□×△×５＝75＋□×□×３となります。 この式の左辺オレンジ部分は５の倍数で、右辺のオレンジ部分75も５の倍数だから、青い部分も５の倍数にならなくてはなりません。 ＊５の倍数には５の倍数を加えない限り５の倍数にはならない！ この時点で□が５の倍数であることが確定します。 □＝５のとき、「５分の５」＋「５分の５」＝「３分の６」となりますが、この場合は△が３の倍数となり条件に反します。 □＝10のとき、「５分の10」＋「10分の５」は「３分の△(整数)」で表すことができません。 □＝15のとき、「15分の５」＋「５分の15」＝「３分の10」となって題意を満たします。 芒種解答　８人 芒種解説　 ＊図中の色つき数字はすべて比を表す数字です。実数ではありません。(12個のみ実数) 初めにあった白玉と赤玉の個数の比をオレンジ、子供たちに配った白玉と赤玉の個数の比を青の数字で示しました。すると白玉の個数についてオレンジの比で２、青の比で７だから、これらを最小公倍数の14に統一します。←オレンジ比は７倍、青比は２倍 統一後の比をグリーンで示しました。グリーンの比の３が12個だから、グリーンの比の１は4個、グリーンの比の14(初めにあった白玉の個数)は４×14＝56個です。白玉は７個ずつ配ったから、子供の人数は56÷７＝８人です。 小満解答　Ａ7％、Ｂ11％ 小満解説　 ＊図の数値は上段から順に濃度、食塩水の重さ、食塩の重さです。最終的な結果をすべて記入していますから、解説の流れに沿ってご確認ください。 食塩水全体の重さは、Ａ400g→200g→600g、Ｂ600g→800g→400gのように変化します。 「最後のＡ」「最後のＢ」の濃度はＡ9％、Ｂ10％だから、最終的な食塩の重さはＡ600×0.09=54g、Ｂ400×0.1=40gです。また「変化後Ｂ」「移したＢ」「最後のＢ」はすべて同じ濃度です。 「移したＢ」と「最後のＢ」は同じ内容です。→「変化後Ｂ」の半分をＡに移したから 「残りのＡ」と「移したＢ」の混合で「最後のＡ」ができるから、「残りのＡ」に含まれる食塩は54−40＝14gで「残りのＡ」の濃度は14÷200=0.07=7％です。これは「最初のＡ(解答)」「移したＡ」と同じ濃度です。 「移したＡ」と「残りのＡ」は同じ内容です。→「最初のＡ」の半分をＢに移したから 「移したＡ」と「最初のＢ」の混合で「変化後Ｂ」ができるから、「最初のＢ」に含まれる食塩は800×0.1−14＝80−14=66gで「最初のＢ」の濃度は66÷600=0.11=11％です。 立夏解答　(1)16通り　(2)17分36秒 立夏解説　(1)エレベーターの上昇について、6階から11階まで5階分の上昇が必要です。エレベーターの停止について、最低1回(最後の11階だけ)から最高5回(7階から11階のすべて)の停止が考えられます。 ＊11階でとびらが閉まっていることから、11階の停止は必ず含まれます。 停止した回数によって場合分けをしてみます。 ア(1回停止した場合)　11階で停止した1通りです。 イ(2回停止した場合)　11階の他にあと1つの階を選びます。7階〜10階の4通りです。 ウ(3回停止した場合)　11階の他にあと2つの階を選びます。7階〜10階の4つの階の中から2つの階を選ぶから6通りです。 エ(4回停止した場合)　11階の他にあと3つの階を選びます。7階〜10階の4つの階の中から3つの階を選ぶから4通りです。 オ(5回停止した場合)　7階から11階のすべての階で停止します。1通りです。 ア〜オを合計して、求める解答は16通りです。 (2)5階分の上昇時間30秒(＝6秒×5)については、(1)のどの場合も同じです。これらの合計で30秒×16通り＝480秒です。 停止時間はア、イ、ウ、エ、オの順に12秒、24秒、36秒、48秒、60秒です。これらに(1)で考えたパターン数をかけて合計すると、 12秒×1通り＋24秒×4通り＋36秒×6通り＋48秒×4通り＋60秒×1通り ＝12秒＋96秒＋216秒+192秒+60秒＝576秒です。 求める解答は480秒+576秒＝1056秒＝17分36秒です。 穀雨解答　[6人部屋]6室　[7人部屋]4室　[8人部屋]7室 穀雨解説　収容定員と実際の収容で8人部屋の使い方に違いはないから、130人と120人の差の10人は6人部屋と7人部屋の収容で生じることがわかります。6人部屋を□部屋、7人部屋を△部屋とすると、(ア)6×□＋7×△と(イ)7×□＋8×△の差が10人です。(イ)は(ア)より□と△が1個ずつ多いから□＋△＝10…(ウ)であることがわかります。＊(イ)から(ア)を引いたと考えてもよいです 条件からすべての部屋の合計数は17室だから、8人部屋は17−10＝7室です。＊全体の部屋数から6人部屋、7人部屋の合計数(□＋△)を引いた 収容定員の条件で、6×□＋7×△＋8×7＝120　左辺の56(8×7)を右辺から引いて 6×□＋7×△＝64…(エ)です。あとは(ウ)と(エ)を使ってつるかめ算(または消去算)を解くと、□＝6室、△＝4室であることがわかります。 清明解答　2025年 清明解説　ある日付と１年後の同じ日付は曜日が1つ先にズレます。ただし、ある日付と1年後の同じ日付の間にうるう年(原則は西暦が4の倍数。100の倍数は除外、400の倍数は再算入の例外あり)の2/29がある場合は曜日が2つ先にズレます。 2014年からの4月5日の曜日は以下の通りです。赤い文字のところが前年からの経過でうるう年の2/29を通過し、曜日が2つ先にズレたところです。 2014 土→2015 日→2016 火→2017 水→2018 木→2019 金→2020 日→2021 月→2022 火→2023 水→2024 金→2025 土 春分解答　880個 春分解説　3ケタの整数の各位の数字の和は最小が1(→1+0+0)で最大が27(→9+9+9)だから、各位の数字の和が24より小さい整数よりも、逆に24以上になる整数の方が少なくて数えやすいことが予想できます。したがって各位の数字の和が24以上になる3つの数字の組合せを考え、次に並びかえを考えてみます。 このとき、5以下の数字は使うことができません。なぜなら5を使うと残り2つの数字を9にしても9+9+5=23より、和が24に満たないからです。 和が24以上になる3つの整数の組み合わせを百の位≧十の位≧一の位になるように考えると、ア999、イ998、ウ997、エ996、オ988、カ987、キ888のパターンが考えられます。 このうちアとキには並びかえがなく(各1通り)、イウエオは各3通りずつの並びかえがあり(たとえばイは998,989,899)、カには3×2×1＝6通りの並びかえがあります。 これらを合計して、各位の数字の和が24以上になる3ケタの整数は全部で1×2+3×4＋6＝20個です。 3ケタの整数は全部で900個(100〜999)あり、いま求めた20個以外はすべて各位の数字の和が24より小さくなります。求める解答は900-20＝880個です。 啓蟄解答　16317 啓蟄解説　該当する整数を次のように整理してみます。解説表記のバランスで、2ケタの整数66を066としています。 66■のタイプ→9個。660、661、662、663、664、665、667、668、669 6■6のタイプ→9個。606、616、626、636、646、656、676、686、696 ■66のタイプ→9個。066、166、266、366、466、566、766、866、966 百の位に6が現れるのは18回で合計は600×18…ア 十の位に6が現れるのは18回で合計は60×18…イ 一の位に6が現れるのは18回で合計は6×18…ウ また、6以外の数字はどれも百、十、一の位に1回ずつ現れるから、合計は111+222+333+444+555+777+888+999＝111×(1+2+3+4+5+7+8+9)＝111×39…エ ア、イ、ウの合計は(600+60+6)×18＝666×18＝111×6×18＝111×108 これにエを加えて、求める解答は111×(108+39)＝111×147＝16317です。 注意　666は除外しています。6が3個出てくる666を、6が2個出てくる数に含めるという理屈も完全な間違いではないと思いますが、算数では除外する判断が普通だと思います。 雨水解答　44通り 雨水解説　1、2、3の整数の足し算で和を7にする式を考えます。ア…1+1+1+1+1+1+1　イ…1+1+1+1+1+2　ウ…1+1+1+1+3　エ…1+1+1+2+2　オ…1+1+2+3　カ…1+2+2+2　キ…1+3+3　ク…2+2+3　次にこれらの並び替えを考えると、ア…1通り(並び替えナシ)　イ…6通り(2の位置が6ヶ所)　ウ…5通り(3の位置が5ヶ所)　エ…10通り(5ヶ所から2の位置を2ヶ所選ぶ組合せ→5×4÷2)　オ…12通り(4ヶ所のうち2の位置が4通り、3の位置が3通り→4×3)　カ…4通り(1の位置が4ヵ所)　キ…3通り(1の位置が3ヵ所)　ク…3通り(3の位置が3ヵ所)　これらを加えて、題意の場合の数は全部で44通りです。 立春解答　742 立春解説　12を加えると13で割り切れる整数とは13の倍数より1大きい整数です。同様に18を加えると19で割り切れる整数とは19の倍数より1大きい整数です。これら2つの条件をともに満足させる整数とは「13と19の公倍数より1大きい整数」であり、13と19の最小公倍数が247であることから、求める整数の候補は〔247の倍数より1大きい整数…★〕です。 ★にあてはまる3ケタの整数は247＋1＝248、247×2＋1＝495、247×3＋1＝742、247×4＋1＝989の4通りが考えられますが、このうち「百の位と一の位の数字を入れかえるともとの数より小さくなる」という条件を満たすのは742だけです。 大寒解答　53通り 大寒解説　5円玉2枚と10円玉1枚の金額が等しくなるから、その重複を消すために10円玉3枚を5円玉6枚に両替し、1円玉2枚、5円玉8枚、50円玉1枚として考えます。1円玉の使い方は0枚か1枚か2枚の3通り…ア　5円玉の使い方は0枚〜8枚の9通り…イ　50円玉の使い方は0枚か1枚の2通り…ウ　です。ア、イ、ウより3種類の硬貨の組み合わせ方は全部で3×9×2＝54通りです。このうち1通りは3種類の硬貨が[0枚-0枚-0枚]の場合だから、その1通りを除外して、求める解答は53通りとなります。 小寒解答　9、12、15、17 小寒解説　4つの整数を小さい順にA、B、C、Dとします。2つの整数の和がもっとも小さくなるのはA+B＝21…ア、2番目に小さくなるのはA+C＝24…イ、また、2番目に大きくなるのはB+D＝29…ウ、もっとも大きくなるのはC+D＝32です。ここで未確定のB+CとA+Dとについて考えると、ア、イよりBとCの差が3(＝24ー21)で奇数だから、差が奇数なら和も奇数になりB+C＝27。残るC+D＝26です。 BとCは［差が3、和が27］だから和差算を用いてB＝12、C＝15。B＝12をアにあてはめてA＝9、ウにあてはめてD＝17です。この解答は、4つのうち1つだけが偶数という条件にも符合しています。 冬至解答　33時間 冬至解説　ある仕事全体を1とします。B1人(単独時)が６時間かかった仕事は1ー(2/5+13/30)＝1/6だから、B1人(単独時)が1時間で終える仕事は1/6÷6＝1/36です。共同作業時のBは能力が２割増しだから、共同作業時のBが1時間で終える仕事は1/36＊1.2(分数では6/5)＝1/30です。A,B2人が６時間で終えた2/5の仕事のうち、1/30＊6＝1/5はBが行った分だから、Aが行った分も等しく1/5であり(2/5ー1/5)、共同作業時のAが1時間で終える仕事も1/5÷6＝1/30です。これはA1人(単独時)の１割増しだから、A1人(単独時)が1時間で終える仕事は1/30÷1.1(分数では11/10)＝1/33です。したがって、ある仕事全体をA1人が行うと1÷1/33＝33時間かかります。 大雪解答　1時間48分 大雪解説　行きは「進む＋休む」で45分のセット。206分(3時間26分)÷45分＝4あまり26分より、40分4回とあまりの26分を合計した186分が進んだ時間。帰りは速さが2倍だから進む時間は行きの1/2になり、186分÷2＝93分。帰りは30分進んで5分休むから、30分-5分-30分-5分-30分-5分で35分×3＝105分。このあと3分進むと進んだ時間が93分になる。帰りの所要時間は105分＋3分＝108分＝1時間48分。 小雪解答　57.6÷4.5 小雪解説　後半のわり算の商が12.8だから、前半のわり算の１の位までの商は12のはずです。 〈前半〉□÷△＝12あまり3.6　→　□＝△×12+3.6 〈後半〉□÷△＝12.8　→　□＝△×12.8＝△×12+△×0.8　(分配法則で12.8を分けた) 下線部分が等しいから、△×0.8＝3.6より△＝4.5　□＝4.5×12.8＝57.6