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二十四の算数 2015 過去問
2014年の過去問

二十四の算数 今年(2015年)の過去問です。2014年の過去問は上にリンクがあります。
*今年(2015年)は立春から出題しました(小寒、大寒はお休みしました)



立夏('15/5/6〜5/20)

次のように、3の倍数と7の倍数を除いた整数の数列を作ります。
1、2、4、5、8、10、11、………
整数2015はこの数列の何番目の整数ですか?


穀雨('15/4/20〜5/5)
5と6の両方、または片方だけの数をいくつかたして数を作ります。5と6を5+5+6+6+6=28、5+5+5+5=20のように何回使ってもよいとするとき、作ることができない10より大きい整数をすべて求めてください。

清明('15/4/5〜4/19)
右の図は台形の中に2本の対角線を引いたものです。ァの部分(四角形)の面積が37cm2のとき、□の長さは何cmでしょうか?


春分('15/3/21〜4/4)
下の図は面積48cm2の正方形を4つの部分ァ、ィ、ゥ、ェに分けたものです。ァの面積が8cm2、ィの面積が12cm2のとき、ェの面積を求めてください。


啓蟄('15/3/6〜3/20)
オレンジと白の正方形のタイルを、ある規則にしたがって下の図のように正方形に並べていきます。白いタイルを112枚使ってできる正方形は何番目でしょうか?


雨水('15/2/19〜3/5)
2つの整数AとBについて次のア、イ、ウがわかっています。
ア 1から2000までにAの倍数は19個あります。
イ 1から2000までに24とBの公倍数は27個あります。
ウ 1から2000までにAとBの公倍数は6個あります。
考えられるAとBの組をすべて求めてください。


立春('15/2/4〜2/18)

今泉君は10%の食塩水を100g作るつもりでしたが、間違えて水100gに食塩10gを溶かしてしまいました。間違いに気づいた今泉君は、食塩水をある量だけ捨て、その後食塩をある量だけ溶かして10%の食塩水100gを作り直しました。
今泉君が捨てた食塩水の重さ(g)と、その後加えた食塩の重さ(g)を求めてください。



立夏解答 1152番目
立夏解説
3と7の最小公倍数21までを書き出してみます。
1、2、4、5、8、10、11、13、16、17、19、20…ァ
このように12個の整数が該当します。

同様に42(=3と7の2番目の公倍数)までの範囲でも同じように12個の整数が該当します。
22、23、25、26、29、31、32、34、37、38、40、41…イ
これらの整数はすべてアの12個に21を加えた整数です。
このように3の倍数と7の倍数を除いた数列とは、3と7の公倍数ごとに区切った範囲の中に必ず12個ずつ存在します。


2015÷21=95あまり20より、整数2015は21の倍数(=3と7の公倍数)より1小さく、
2015はアの20、イの41のようにグループ12個の最後に現れる整数です。
*1を加えると21の倍数になる整数と考えてもよいでしょう。たとえばイの最後の41に1を加えると42。これを21で割ると
2になり、イの41は2組目のグループの最後の整数であることがわかります。

(2015+1)÷21=2016÷21=
96より、2015は96組目のグループの最後の整数です。
したがって2015は題意の数列において、96×12=1152番目に現れます。


穀雨解答
 13と14と19
穀雨解説

上のように数字を5つずつ並べた表を作って考えます。
一番下の段は5の倍数だから、5のたし算で表現することができます。
→表現できる整数は
青色

それ以外の段は、左から見たときに一度
6の倍数が現れると、その数を含め、それより右側はすべて表現することができます。なぜなら各段の数字は5ずつ増えていくから、
たとえば23=6+6+6+5のような要領です。
つまり5と6のたし算で表現することができないのは、上から4段で、6の倍数より左側にある整数です。問題の条件に「10より大きい」とあるから、解答は13、14、19となります。


清明解答 6cm

清明解説


上の図のような
補助線DQを書き入れて考えます。

△AQDは底辺4cm高さ10cmだから、面積は20cm2です。…@
また、△DQCは底辺5cm、高さ10cmだから面積は25cm2です。
問題の条件からァの面積が37cm2だから、
△DPQ=37−25=12cm2です。…A

@、Aより
△APD=20−12=8cm2…B
A、Bより、
△APD△DPQ=8:12=2:3とわかり、この面積比は線分比AP:PQと一致します。
*高さが等しい三角形は(底辺の比)=(面積比)

△APDと△QPBは相似の関係があり、AD:QBはAP:PQと等しく2:3です。AD=4cmだから、BQ=4×3/2=6cmです。


春分解答 20cm2
春分解説

右の図のような対角線を書き入れて考えます。
以下、面積の単位cm2を省いて解説します。

△ABDは正方形の半分だから48÷2=24、ァは8だから△PBDは24−8=16です。
△ABP(ァ)と△PBDは高さが等しいから、底辺の比は面積の比と等しくAP:PD=8:16=1:2です。

同じように△DBCが正方形の半分で24、イが12だから、△DBQは24−12=12。よってDQ:QCは△DBQと△QBC(イ)の面積比から12:12=1:1です。

これらのことを利用して各線分を具体的な整数で表しておきます。たとえば正方形の1辺を6とすると、AP=2、PD=4、DQ=QC=3です。
アとゥの面積は[底辺×高さ]のかけ算をして、ァ:ゥ=(AB×AP):(PD×QC)=(6×2):(4×3)=12:12=1:1。つまりァとゥの面積は等しいことがわかります。→アの面積が8だから、ウの面積も8

ェの面積は正方形全体からァ、イ、ウを引いて、48−(8+8+12)=20と求めることができます。

*ァとゥの面積比を底辺×高さで求めるのがポイントです。解説では正方形の1辺を6としましたが、各所の比がきちんと反映されていれば、どのような数値で考えても同じ面積比が求められます。また、三角形の面積の公式は底辺×高さ÷2ですが、÷2に関しては面積比の算出では不要でしょう(行っても構いませんが…)。

啓蟄解答
 
8番目
啓蟄解説
どの図においてもオレンジ色のタイルは白いタイルより1枚多く、またタイルの合計枚数は1番目1×1=1、2番目3×3=9、3番目5×5=25のように奇数×奇数の平方数です。
白いタイルが112枚のとき、オレンジ色のタイルは113枚だから、タイルの合計枚数は112+113=225枚になり、225(平方数)=15×15です。→正方形の1辺が15枚とわかる
□(番目)×2−1=(正方形の1辺の枚数)の関係があるから、この関係を使って逆算すると
(15+1)÷2=8より、求める解答は8番目です。


雨水解答 (A,B) = (102,9) (102,18) (105,9)
雨水解説 
整数1からNまでに含まれるPの倍数の個数はN÷Pの商の整数部分です(あまりは無視してよい)。
条件アから2000÷Aの商は19以上20未満です。この条件を満たすAの値を考え、Aの候補は101、102、103、104、105です。…@

24とBの最小公倍数を□とすると、条件イから2000÷□の商は27以上28未満です。この条件を満たす□の値を考え、□の候補は72、73、74となりますが、□は24の倍数だから72に決定します。→24とBの最小公倍数□は72
このことを使って
第38講座で解説した手順を用いるとBの候補は9、18、36、72とわかります。…A

AとBの最小公倍数を△とすると、条件ウから2000÷△の商は6以上7未満です。この条件を満たす△の値を考え、△の候補は286以上333以下です。…B
A(@)、B(A)の候補を組み合わせ、Bの条件を満たす(A,B)の組を調べます。
[Aが101、103の場合]
101、103は素数だから、Bのすべての候補と互いに素になってしまい、最小公倍数がBの範囲に収まりません。
[Aが102の場合]
Bを9または18としたとき、最小公倍数が306となり条件Bを満たします。
→解答2組Get!
[Aが104の場合]
B=9とは互いに素で不適、B=18、36、72とは公約数を持ちますが、どの場合も最小公倍数がBの範囲に収まりません。
[Aが105の場合]
Bを9としたとき、最小公倍数が315となり条件Bを満たします。
→解答1組Get!

以上全部で3組の解答が考えられます。最小公倍数の計算はすだれ式の筆算が有名ですが、あわせて第38講座の知識があると、このような問題に応用がきくと思います。


立春解答 捨てた食塩水11g その後加えた食塩1g
立春解説 
10%の食塩水を作るためには、食塩10gに対して、水を100gではなく90g混ぜればよいわけです。→今泉君の初めの操作は水が10g多すぎた

@ まず水を10g減らすことを考えます。
今泉君が初めに間違えて作った食塩水の濃度は10/110=1/11だから、水が占める割合は10/11です。したがって10gの水を減らすためには、10÷10/11=11gの食塩水を捨てる必要があります。

A @で減ってしまった食塩を追加します。
@によって11gの食塩水を捨て、水を10g減らすことはできましたが、同時に1gの食塩も捨ててしまっています。*捨てた11gの食塩水…水10g+食塩1g
つまり最後に1gの食塩を追加することで、無事に題意の作り直しは完了します。

*この問題は第63講座で取り上げたことがありました。あわせてご参考ください。

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