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 過去問PART2 |
 立夏 次のように、３の倍数と７の倍数を除いた整数の数列を作ります。 １、２、４、５、８、10、11、……… 整数2015はこの数列の何番目の整数ですか？ 穀雨 ５と６の両方、または片方だけの数をいくつかたして数を作ります。５と６を５＋５＋６＋６＋６＝28、５＋５＋５＋５＝20のように何回使ってもよいとするとき、作ることができない10より大きい整数をすべて求めてください。 清明 右の図は台形の中に2本の対角線を引いたものです。ァの部分(四角形)の面積が37cm2のとき、□の長さは何cmでしょうか？  春分 下の図は面積48cm2の正方形を4つの部分ァ、ィ、ゥ、ェに分けたものです。ァの面積が8cm2、ィの面積が12cm2のとき、ェの面積を求めてください。  啓蟄 オレンジと白の正方形のタイルを、ある規則にしたがって下の図のように正方形に並べていきます。白いタイルを112枚使ってできる正方形は何番目でしょうか？  雨水 ２つの整数ＡとＢについて次のア、イ、ウがわかっています。 ア 1から2000までにＡの倍数は19個あります。 イ 1から2000までに24とＢの公倍数は27個あります。 ウ 1から2000までにＡとＢの公倍数は６個あります。 考えられるＡとＢの組をすべて求めてください。 立春 今泉君は10％の食塩水を100ｇ作るつもりでしたが、間違えて水100ｇに食塩10ｇを溶かしてしまいました。間違いに気づいた今泉君は、食塩水をある量だけ捨て、その後食塩をある量だけ溶かして10％の食塩水100ｇを作り直しました。 今泉君が捨てた食塩水の重さ(ｇ)と、その後加えた食塩の重さ(ｇ)を求めてください。 立夏解答 1152番目 立夏解説 3と7の最小公倍数21までを書き出してみます。 １、２、４、５、８、10、11、13、16、17、19、20…ァ このように12個の整数が該当します。 同様に42(＝3と7の2番目の公倍数)までの範囲でも同じように12個の整数が該当します。 22、23、25、26、29、31、32、34、37、38、40、41…イ これらの整数はすべてアの12個に21を加えた整数です。 このように3の倍数と7の倍数を除いた数列とは、3と7の公倍数ごとに区切った範囲の中に必ず12個ずつ存在します。 2015÷21＝95あまり20より、整数2015は21の倍数(＝3と7の公倍数)より1小さく、 2015はアの20、イの41のようにグループ12個の最後に現れる整数です。 ＊1を加えると21の倍数になる整数と考えてもよいでしょう。たとえばイの最後の41に1を加えると42。これを21で割ると2になり、イの41は2組目のグループの最後の整数であることがわかります。 (2015＋1)÷21＝2016÷21＝96より、2015は96組目のグループの最後の整数です。 したがって2015は題意の数列において、96×12＝1152番目に現れます。 穀雨解答 13と14と19 穀雨解説  上のように数字を５つずつ並べた表を作って考えます。 一番下の段は５の倍数だから、５のたし算で表現することができます。 →表現できる整数は青色 それ以外の段は、左から見たときに一度６の倍数が現れると、その数を含め、それより右側はすべて表現することができます。なぜなら各段の数字は５ずつ増えていくから、 たとえば23＝６+６+６+５のような要領です。 つまり５と６のたし算で表現することができないのは、上から４段で、６の倍数より左側にある整数です。問題の条件に「10より大きい」とあるから、解答は13、14、19となります。 清明解答 6cm 清明解説  上の図のような補助線DQを書き入れて考えます。 △AQDは底辺4cm高さ10cmだから、面積は20cm2です。…① また、△DQCは底辺5cm、高さ10cmだから面積は25cm2です。 問題の条件からァの面積が37cm2だから、△DPQ＝37－25＝12cm2です。…② ①、②より△APD＝20－12＝8cm2…③ ②、③より、△APD：△DPQ＝8:12＝2:3とわかり、この面積比は線分比AP:PQと一致します。 ＊高さが等しい三角形は(底辺の比)＝(面積比) △APDと△QPBは相似の関係があり、AD:QBはAP:PQと等しく2:3です。AD＝4cmだから、BQ＝4×3/2＝6cmです。 春分解答 20cm2 春分解説  右の図のような対角線を書き入れて考えます。以下、面積の単位cm2を省いて解説します。 △ABDは正方形の半分だから48÷2＝24、ァは8だから△PBDは24－8＝16です。 △ABP(ァ)と△PBDは高さが等しいから、底辺の比は面積の比と等しくAP:PD＝8:16＝1:2です。 同じように△DBCが正方形の半分で24、イが12だから、△DBQは24－12＝12。よってDQ:QCは△DBQと△QBC(イ)の面積比から12:12＝1:1です。 これらのことを利用して各線分を具体的な整数で表しておきます。たとえば正方形の1辺を6とすると、AP＝2、PD＝4、DQ＝QC＝3です。 アとゥの面積は[底辺×高さ]のかけ算をして、ァ:ゥ＝(AB×AP):(PD×QC)＝(6×2):(4×3)＝12:12＝1:1。つまりァとゥの面積は等しいことがわかります。→アの面積が8だから、ウの面積も8 ェの面積は正方形全体からァ、イ、ウを引いて、48－(8+8+12)＝20と求めることができます。 ＊ァとゥの面積比を底辺×高さで求めるのがポイントです。解説では正方形の1辺を6としましたが、各所の比がきちんと反映されていれば、どのような数値で考えても同じ面積比が求められます。また、三角形の面積の公式は底辺×高さ÷2ですが、÷2に関しては面積比の算出では不要でしょう(行っても構いませんが…)。 啓蟄解答 ８番目 啓蟄解説 どの図においてもオレンジ色のタイルは白いタイルより１枚多く、またタイルの合計枚数は1番目1×1＝1、2番目3×3＝9、3番目5×5＝25のように奇数×奇数の平方数です。 白いタイルが112枚のとき、オレンジ色のタイルは113枚だから、タイルの合計枚数は112＋113＝225枚になり、225(平方数)＝15×15です。→正方形の1辺が15枚とわかる □(番目)×2－1＝(正方形の1辺の枚数)の関係があるから、この関係を使って逆算すると (15＋1)÷2＝8より、求める解答は8番目です。 雨水解答 (Ａ,Ｂ) ＝ (102,9) (102,18) (105,9) 雨水解説 整数1からＮまでに含まれるＰの倍数の個数はＮ÷Ｐの商の整数部分です(あまりは無視してよい)。 条件アから2000÷Ａの商は19以上20未満です。この条件を満たすＡの値を考え、Ａの候補は101、102、103、104、105です。…① 24とＢの最小公倍数を□とすると、条件イから2000÷□の商は27以上28未満です。この条件を満たす□の値を考え、□の候補は72、73、74となりますが、□は24の倍数だから72に決定します。→24とＢの最小公倍数□は72 このことを使って第38講座で解説した手順を用いるとＢの候補は9、18、36、72とわかります。…② ＡとＢの最小公倍数を△とすると、条件ウから2000÷△の商は6以上7未満です。この条件を満たす△の値を考え、△の候補は286以上333以下です。…③ Ａ(①)、Ｂ(②)の候補を組み合わせ、③の条件を満たす(Ａ,Ｂ)の組を調べます。 [Ａが101、103の場合] 101、103は素数だから、Ｂのすべての候補と互いに素になってしまい、最小公倍数が③の範囲に収まりません。 [Ａが102の場合] Ｂを9または18としたとき、最小公倍数が306となり条件③を満たします。→解答2組Get! [Ａが104の場合] Ｂ＝9とは互いに素で不適、Ｂ＝18、36、72とは公約数を持ちますが、どの場合も最小公倍数が③の範囲に収まりません。 [Ａが105の場合] Ｂを9としたとき、最小公倍数が315となり条件③を満たします。→解答1組Get! 以上全部で3組の解答が考えられます。最小公倍数の計算はすだれ式の筆算が有名ですが、あわせて第38講座の知識があると、このような問題に応用がきくと思います。 立春解答 捨てた食塩水11ｇ その後加えた食塩１ｇ 立春解説 10％の食塩水を作るためには、食塩10ｇに対して、水を100ｇではなく90ｇ混ぜればよいわけです。→今泉君の初めの操作は水が10ｇ多すぎた ① まず水を10ｇ減らすことを考えます。 今泉君が初めに間違えて作った食塩水の濃度は10/110＝1/11だから、水が占める割合は10/11です。したがって10ｇの水を減らすためには、10÷10/11＝11ｇの食塩水を捨てる必要があります。 ② ①で減ってしまった食塩を追加します。 ①によって11ｇの食塩水を捨て、水を10ｇ減らすことはできましたが、同時に１ｇの食塩も捨ててしまっています。＊捨てた11ｇの食塩水…水10ｇ＋食塩１ｇ つまり最後に１ｇの食塩を追加することで、無事に題意の作り直しは完了します。 ＊この問題は第63講座で取り上げたことがありました。あわせてご参考ください。 |
