中学受験 算数家庭教師さんじゅつまんのホームページ さんじゅつまんイラスト
   みんなの算数講座    第27講座    食塩水と水の    同量交換


お星さまと虹今回は第3講座のてんびん紹介以来、食塩水のテーマを取り上げたいと思います。まともにぶつかる正攻法より、時間を2〜3倍短縮できちゃうワザがあります。さてさてどういうことなのでしょう???


久々の食塩水はこんな問題です。

20%の食塩水が500gあります。
【操作】食塩水を100gを捨てて、代わりに100gの水を入れます。
(1)【操作】を1回だけ行うと、食塩水は何%になりますか?
(2)その後、同じ【操作】をもう1回行うと、食塩水は何%になりますか?
(3)さらにその後、同じ【操作】をもう1回行うと、食塩水は何%になりますか?

ではワザの話は置いといて、まともにぶつかることから考えてみましょう。

(1)
100gの食塩水を捨てたとき、20%の食塩水は400g残るから、20%の食塩水400gと水100gを混ぜることになります。てんびん
第3講座参照)も使えますが、ここではごく普通に食塩の重さを求めて考えることにします。

(500−100)×0.2=80g
→食塩水を100g捨てたあと、残り400gに含まれる食塩の重さ
400+100=500g
→100gの水を戻すと食塩水は500gに復活!
濃度=食塩÷食塩水
より、80÷500=0.16=16% →(1)の答え

(2)
1回目の操作で、食塩水の濃度は16%に下がっています。
ここで100gの食塩水を捨てたとき、16%の食塩水が400g残るから、16%の食塩水400gと水100gを混ぜることになります。

(500−100)×0.16=64g
→2回目に食塩水を100g捨てたあと、残り400gに含まれる食塩の重さ
400+100=500g
→100gの水を戻すと食塩水は再び500gに復活!
64÷500=0.128=12.8% →(2)の答え

(3)
食塩が減って水が増えるから、濃度は徐々に低くなりますが、あと何回【操作】を繰り返しても考え方は同じです。
もう一度100gの食塩水を捨てたとき、12.8%の食塩水が400g残るから、12.8%の食塩水400gと水100gを混ぜることになります。

(500−100)×0.128=51.2g
→3回目に食塩水100gを捨てたあと、残り400gに含まれる食塩の重さ
400+100=500g
→100gの水を戻すと食塩水は三たび500gに復活!
51.2÷500=0.1024=10.24% →(3)の答え

以上、ごく普通にぶつかる方法の解説でした。決して難しくはないですが、なんかもっと簡単な方法がありそうですよね。

もちろんあります!

今日せっかくパソコンに向かって(いまはスマフォやI-PADでも見れるけどね)ボクの算数講座を読んでもらっているわけですから、みなさんにとって素敵なお土産(おみやげ)になったらうれしいです。ちゃんとみなさんの頭に格納して、忘れないお土産にしてくださいね!

じゃあお土産の発表!
食塩水と同量の水を交換する問題では、次の考え方が使えます。

食塩水を同量の水と交換すると…
新しくできる食塩水の濃度
=もとの食塩水の濃度×(残した食塩水の重さ/もとの食塩水の重さ)


つまりさ、上の問題の(1)だと、
80gの食塩が
400gの食塩水に溶けていると20%500gの食塩水に溶けていると16%
400500=4:5
2016=5:4だから、
食塩水の重さと濃度は反比例していて、食塩の重さを変えずに(水だけの追加で)食塩水を400gから500gにすれば(5/4倍)、濃度は4/5倍になるということなのです。
言われてみれば当たり前の話なんだけど、こうしたことを実際に使えるかどうかは別問題でね。でも使えたらはやく解けますよ〜。

この考え方を使ってもう一度上の問題を解くと、
(1) 20%×(400/500)=20%×(4/5)=
16%
(2) 16%×(4/5)=16÷5×4=
12.8%
(3) 12.8%×(4/5)=12.8÷5×4=
10.24% もう終わり(笑)
(おまけ) もしあと1回操作すれば10.24%×(4/5)=10.24÷5×4=8.192%

***
食塩水と水の同量交換は、まともに食塩の重さを計算しなくても、もとの濃度に
<残した重さ/もとの重さ>という分数をかけることで、新しい濃度がすぐに求められる…というお話でした。

いゃ、まともにぶつかることが決して悪いわけではないですよ。ただ、こうした知識を持っていることが、解答時間の短縮という意味で役に立つこともあるはずです。
キーワードは 
食塩水を捨て 同じ量の水を戻す です。問題文でそんなキーワードをみたら、今回の第27講座を思い出してほしいですね。
さんじゅつまん、そう願って今回はおしまいにしたいと思います。


リストマーク
東京近郊で中学受験を目指すお子様への算数家庭教師はさんじゅつまんにお任せください。
ご希望の方は、下記リンク「中学受験算数家庭教師について」をお読みになり、そのページ内に設置してあるフォームよりご連絡ください。事前のお問い合わせも歓迎です。

東京の中学受験 算数家庭教師さんじゅつまん中学受験算数家庭教師についてプロフィール著書目録
みんなの算数講座目次みんなの算数講座テスト問題また来てね問題集正解者発表みなさんのページ
大人のための算数通信添削リンク集解答用紙一般のご連絡フォーム家庭教師用ご連絡フォーム