この第46講座の改訂版を姉妹サイト中学受験の算数知恵宝庫(スマホ対応)にNewみんなの算数講座46としてアップしています。★講座タイトルの変更はありません これまで以上に読みやすい文体、装飾、見やすい図形を心がけました。算数知恵宝庫にもぜひいらしてくださいね。

今回のテーマは、場合の数の問題を解くときの数え上げのテクニックです。場合の数でいろいろなパターンを調べるとき、思いついた順に勝手に調べていては正解率は低いでしょう。テクニックを身につけてくださいね。 さてみなさんの家に国語辞典はありますか？ そうそう、言葉の意味を調べるときに使うあの国語辞典です。普通おうちに一冊くらいはありますよね。あっ、べつに持ってきてくれなくても大丈夫ですが、国語辞典で言葉の出てくる順番は知ってますね？ はいはい。 あ・い・う・え・お・か・き・く・け・こ・さ・し・す……の五十音順です。 まず単語の一番上のひらがなが五十音順。それが同じなら二番目のひらがなが五十音順です。 以下、二番目も同じなら三番目、三番目も同じなら四番目が五十音順です。 それがどうしたかって？ 今回のテーマにそのことが大いに関係あるのです。先に問題を出してしまいましょう。たとえばこんな問題。 ０、１、２、３、４、５のカードが１枚ずつあります。 このうち３枚のカードを並べてできる３の倍数は全部で何通りありますか？ 場合の数の問題です。 この問題の解答を簡単な計算式ですぐに求めることはできるでしょうか？ ノーですね。 使える数字が０から５までに限られている（６から９までがない）なかで、３の倍数という条件が加わると、簡単な計算式ですぐに求めることはできません。 簡単な計算式が無理なら、いろいろなパターンを調べていくのがこうした問題への対策ですが、人間は結構そそっかしい生き物で、何のルールも決めずに調べようとすると、どうしてもモレやダブりが生じてしまうものです。　もちろんたまたまうまくいくことはあるでしょうが…。 そこで調べるときに あるルールを決めよう！というのが今回の講座のポイントです。 タイトルにも書いた辞書的順序（じしょてきじゅんじょ）という言葉を覚えてください。これは場合の数でパターンを調べるときは 国語辞典の順序をマネをしよう！ということです。 次の約束を読んでください。 場合の数 辞書的順序の約束 国語辞典は「あ・い・う・え・お・・・」の順 場合の数のパターン調べは「１・２・３・４・５・・・」の順 ※今回のように０を考える必要がある問題では、０を１より優先させてください。 意味、わかりますか？ 場合の数でパターンを調べるときは、上の約束にしたがって数字を出してください。 １が出せるときは必ず１を出す　※０が使えるときは０が最優先です →１が出せなくなったら２を出す →２が出せなくなったら３を出す ……… 国語辞典で「あ」が「い」より先に出て、「い」が「う」より先に出るのとまったく同じ要領ですね。１が「あ」、２が「い」、３が「う」。そんな感じです。 では上で出した問題を解いてみます。 ３の倍数には各位の数字の和が３の倍数という性質があります。※第６講座参照 この性質を利用して０、１、２、３、４、５のカードから、和が３の倍数になるような３枚のカードの組合せを考えます。たとえば１、２、３を選べば和が６になり３の倍数が作れます。 しかし思いついた順番に挙げていくのはあまりよくありません。運よく見つけられるパターンもあるでしょうが、残念ながら気づかずにうもれてしまうパターンもあると思うからです。 そこで辞書的順序の約束が大切になります。 ■■■ 　まず■を０に固定し、■を１にして調べます。 　同じ数字が使えないことに注意して、■は２から順に入れていきます。 　すると数字の和が３の倍数になる２つのパターンが発見できます。 　パターンＡ　０１２　和が３ 　パターンＢ　０１５　和が６ 　■は０のまま、■を２にします。 　その際０−２−１のように右の数字が左の数字より小さくなるものは、 　すでに発見したパターンと数字の順番がちがうだけで同じ組合せです。 　新しいパターンは右の数字を左の数字より大きくしてさがします。 　■に４を入れたパターンＣが発見できます。 　※ここでは３つの数字の組合せだけを調べています。３ケタの整数を作るには各パターンで数字の並びかえを 　　考える必要がありますが、それについてはあとで説明します。 　パターンＣ　０２４　和が６ 　 　■を３にしたときは新しいパターンがなく、 　■を４にしたとき、■に５を入れてパターンＤです。 　パターンＤ　０４５　和が９ 　■を０にしたパターンが終わり、今度は■を１にします。 　■を２にしたとき、■に３を入れてパターンＥです。 　パターンＥ　１２３　和が６ 　■を３にしたとき、■に５を入れてパターンＦです。 　パターンＦ　１３５　和が９ 　今度は■を２にします。 　■を３にしたとき、■に４を入れてパターンＧです。 　パターンＧ　２３４　和が９ 　最後、■を３にします。 　■を４にしたとき、■に５を入れてパターンＨです。 　パターンＨ　３４５　和が12 　■を４にすると右側で数字が不足します。パターンは以上です。 このように和が３の倍数になる３枚のカードの組合せを、パターンＡからパターンＨまで調べ上げることができました。辞書的順序を守って調べたから、モレやダブりは一切ありません。辞書的順序の感覚をつかんでいただけましたか？ さて、問題の解答ということになりますと、 パターンＡからパターンＨについて、それぞれ数字の並びかえが何通りあるか？を考えなくてはなりません。 ※たとえばパターンＥの数字を使った123と312はちがう整数です。 パターンＡ〜Ｄは３つの数字のなかに０をふくんでいるから、それぞれ４通りずつ並びかえができます。パターンＡを例にとれば 102、120、201、210 の４通りです。 ※０を百の位に置くことはできません パターンＥ〜Ｈは３つの数字のなかに０がないから、それぞれ６通りずつ並びかえができます。パターンＥを例にとれば 123、132、213、231、312、321 の６通りです。 パターンＡ〜Ｄで４通りずつ、パターンＥ〜Ｈで６通りずつの並びかえがあるから、 ３枚のカードを使って作れる３の倍数は、 全部で４×４＋４×６＝16＋24＝40通りが正解です。 ＊＊＊ お疲れさまでした。解答が出ましたね。 最後にもう一度まとめておきます。 今回のような問題では、まず最初に辞書的順序を守って組合せのパターンを調べ、そのあとでそれぞれのパターンの並びかえを考えてください。 並びかえを検討する後半も大事なのですが、それ以前にモレやダブりがないよう組合せを上手に見つけなくては元も子もありません。辞書的順序によるパターン調べのココロをぜひ忘れないようにしてください。 それではみなさん、また次回の講座で元気にお目にかかりましょう！ カーテンコール ０から５までの６枚のカードから３ケタの整数を作ると、全部で５×５×４＝100通りの整数が作れます。任意に整数を抽出するとき、３の倍数は３分の１の割合で存在するはずですが、解答の40通りは100通りの３分の１を超えています。不思議な感じがしますが、このことからも 解答をすぐに求める簡単な計算式がなく、ていねいな調べが必要なことをおわかりいただけるかと思います。

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