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   みんなの算数講座    第46講座    辞書的順序の    ススメ

お星さまと虹今回のテーマは、場合の数の問題を解くときの数え上げのテクニックです。場合の数でいろいろなパターンを調べるとき、思いついた順に勝手に調べていては正解率は低いでしょう。テクニックを身につけてくださいね。


さて
みなさんの家に国語辞典はありますか?
そうそう、言葉の意味を調べるときに使うあの国語辞典です。普通おうちに一冊くらいはありますよね。あっ、べつに持ってきてくれなくても大丈夫ですが、国語辞典で言葉の出てくる順番は知ってますね?

はいはい。
あ・い・う・え・お・か・き・く・け・こ・さ・し・す……の五十音順です。
まず単語の一番上のひらがなが五十音順。それが同じなら二番目のひらがなが五十音順です。
以下、二番目も同じなら三番目、三番目も同じなら四番目が五十音順です。

それがどうしたかって?
今回のテーマにそのことが大いに関係あるのです。先に問題を出してしまいましょう。たとえばこんな問題。

0、1、2、3、4、5のカードが1枚ずつあります。
このうち3枚のカードを並べてできる3の倍数は全部で何通りありますか?

場合の数の問題です。

この問題の解答を簡単な計算式ですぐに求めることはできるでしょうか?

ノーですね。
使える数字が0から5までに限られている
(6から9までがない)なかで、3の倍数という条件が加わると、簡単な計算式ですぐに求めることはできません。

簡単な計算式が無理なら、いろいろなパターンを調べていくのがこうした問題への対策ですが、人間は結構そそっかしい生き物で、何のルールも決めずに調べようとすると、どうしてもモレやダブりが生じてしまうものです。 
もちろんたまたまうまくいくことはあるでしょうが…。

国語辞典
そこで調べるときに
あるルールを決めよう!というのが今回の講座のポイントです。
タイトルにも書いた
辞書的順序(じしょてきじゅんじょ)という言葉を覚えてください。これは場合の数でパターンを調べるときは
国語辞典の順序をマネをしよう!ということです。

次の約束を読んでください。

場合の数 辞書的順序の約束
国語辞典は「あ・い・う・え・お・・・」の順
場合の数のパターン調べは「1・2・3・4・5・・・」の順
※今回のように0を考える必要がある問題では、0を1より優先させてください。

意味、わかりますか?
場合の数でパターンを調べるときは、上の約束にしたがって数字を出してください。

1が出せるときは必ず1を出す 
※0が使えるときは0が最優先です
→1が出せなくなったら2を出す
→2が出せなくなったら3を出す
………


国語辞典で「あ」が「い」より先に出て、「い」が「う」より先に出るのとまったく同じ要領ですね。1が「あ」、2が「い」、3が「う」。そんな感じです。


では上で出した問題を解いてみます。
3の倍数には
各位の数字の和が3の倍数という性質があります。第6講座参照

この性質を利用して0、1、2、3、4、5のカードから、和が3の倍数になるような3枚のカードの組合せを考えます。たとえば1、2、3を選べば和が6になり3の倍数が作れます。

しかし思いついた順番に挙げていくのはあまりよくありません。運よく見つけられるパターンもあるでしょうが、残念ながら気づかずにうもれてしまうパターンもあると思うからです。

そこで
辞書的順序の約束が大切になります。


 リストマークまず
を0に固定し、を1にして調べます。
 同じ数字が使えないことに注意して、
は2から順に入れていきます。
 すると数字の和が3の倍数になる2つのパターンが発見できます。

 パターンA 012 
和が3
 パターンB 015 和が6

 リストマークは0のまま、を2にします。
 その際0−2−1のように右の数字が左の数字より小さくなるものは、
 すでに発見したパターンと数字の順番がちがうだけで同じ組合せです。
 
新しいパターンは右の数字を左の数字より大きくしてさがします。
 ■に4を入れたパターンCが発見できます。
 ※ここでは3つの数字の組合せだけを調べています。3ケタの整数を作るには各パターンで数字の並びかえを
  考える必要がありますが、それについてはあとで説明します。

 パターンC 024 和が6

 

 ■を3にしたときは新しいパターンがなく、
 ■を4にしたとき、に5を入れてパターンDです。
 パターンD 045 和が9

 
リストマークを0にしたパターンが終わり、今度はを1にします。

 ■
を2にしたとき、に3を入れてパターンEです。
 パターンE 123 和が6

 ■を3にしたとき、に5を入れてパターンFです。
 パターンF 135 和が9

 リストマーク今度は
を2にします。
 
を3にしたとき、に4を入れてパターンGです。
 パターンG 234 和が9

 リストマーク最後、を3にします。
 ■を4にしたとき、に5を入れてパターンHです。
 パターンH 345 和が12

 リストマークを4にすると右側で数字が不足します。パターンは以上です。

このように和が3の倍数になる3枚のカードの組合せを、パターンAからパターンHまで調べ上げることができました。辞書的順序を守って調べたから、モレやダブりは一切ありません。辞書的順序の感覚をつかんでいただけましたか?

さて、問題の解答ということになりますと、
パターンAからパターンHについて、それぞれ数字の並びかえが何通りあるか?を考えなくてはなりません。
※たとえばパターンEの数字を使った123と312はちがう整数です。

パターンA〜Dは
3つの数字のなかに0をふくんでいるから、それぞれ4通りずつ並びかえができます。パターンAを例にとれば 102、120、201、210 の4通りです。
※0を百の位に置くことはできません

パターンE〜Hは
3つの数字のなかに0がないから、それぞれ6通りずつ並びかえができます。パターンEを例にとれば 123、132、213、231、312、321 の6通りです。

パターンA〜Dで4
通りずつ、パターンE〜Hで6通りずつの並びかえがあるから、
3枚のカードを使って作れる3の倍数は、
全部で4×4+4×6=16+24=
40通りが正解です。

***
お疲れさまでした。解答が出ましたね。

最後にもう一度まとめておきます。
今回のような問題では、まず最初に辞書的順序を守って組合せのパターンを調べ、そのあとでそれぞれのパターンの並びかえを考えてください。
並びかえを検討する後半も大事なのですが、それ以前にモレやダブりがないよう組合せを上手に見つけなくては元も子もありません。辞書的順序によるパターン調べのココロをぜひ忘れないようにしてください。

それではみなさん、また次回の講座で元気にお目にかかりましょう!

カーテンコール
0から5までの6枚のカードから3ケタの整数を作ると、全部で5×5×4=100通りの整数が作れます。任意に整数を抽出するとき、3の倍数は3分の1の割合で存在するはずですが、解答の40通りは100通りの3分の1を超えています。不思議な感じがしますが、このことからも 解答をすぐに求める簡単な計算式がなく、ていねいな調べが必要なことをおわかりいただけるかと思います。


リストマーク
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