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   みんなの算数講座    第58講座    てんびんさん    友情出演

お星さまと虹今回の講座は
平均算の解説です。さんじゅつまんだけには任せておけないと言って、食塩水で有名な〈てんびん〉さんが友情出演してくれます。てんびんさんは顔が広いなぁ。


平均。
シンプルすぎて、言葉で説明しようと思うと意外と困ったりするんだけど、そうそう、みなさん〈左〉ってどういう言葉で説明すればいいと思います?左手の方向では左という字がふくまれていて説明にならないし…。
いゃいつか困ったことがありましてね。それで辞書を引いたのですが、何て書いてあったと思います?〈左〉と引いたら〈右〉の反対だって!?!?!?
説明になっていないと思ったけど、単純すぎる言葉で辞書を書く人も悩んだのでしょうね。
※これとそっくり同じ話が映画「舟を編む」に出てきたのは驚きました!世の中にはこんな話でもおんなじことを考える人がいるんですね〜。

あ〜また脱線してしまいました.....
平均も言葉だとすごく説明しにくいのですが、いくつかの量を同じ大きさにそろえた量(ならした量)のことかな。

平均の計算方法はいくつかあるのですが、算数で使う平均は
@ぜんぶ合計してA合計した個数で割る計算方法でよいですね。※相加平均といいます

平均(相加平均)=全データの総合計÷全データの個数

※ちなみに相加平均以外の平均には相乗平均(そうじょうへいきん)があります。全データすべての積を、全データ数に応じた累乗根で表すという平均です。
2と3の相乗平均はルート(2×3) → ルート6=2.236…
高校で習いますが(相加平均)≧(相乗平均)という関係があります。
2と3の相加平均は(2+3)÷2=2.5。 2.5>2.236…ですね。

さて、この平均なんですが、入口はとてもやさしいのですが、算数の文章題ではけっこう解きにくい問題があります。
では今回の問題を見てください。

問題1
いままで何回かの理科のテスト(100点満点)がありました。いままでの平均点は77点でしたが、次のテストで95点取ると平均点が80点になるそうです。次のテストは何回目のテストですか?

問題2
ウカール進学教室に通う6年生が全部で56人います。この塾では算数のクラスをテストの成績に応じて1軍と2軍に分けています。
ある回のテスト結果は、1軍の平均点が88点、2軍の平均点が56点、そして全体の平均点は68点でした。1軍と2軍の人数はそれぞれ何人ですか?


どうですか? 
恒例、しばらくの空白を作りますから考えてみてください。
空白が終わると解説です。







































平均算では、面積図や、食塩水のときによく使うてんびんが有力な解法です。
では問題1を面積図、問題2をてんびんで解説することにしましょう。

問題1 解説

解説図

面積図はいろいろな問題で登場しますね。算数のキーマンのひとりですよね。

面積図のタテ線が平均点、ヨコ線がテストの回数を示します。
(今までのテストの回数が

左側の長方形の面積は77×で、これが今までのテストの合計得点を示しています。また、右側の長方形の面積が95×1で、これが次回1回の95点のテストを示しています。

左右の長方形を平均化させて太線で囲んだ長方形にすると、
の面積との面積が等しいことになります。(イの長方形がアの長方形に組み込まれて平均化する)

=15×1
この式から□=5とわかり、今までのテストの回数は5回です。
次のテストは1回を加えて
6(回目)です。

問題2 解説
解説図

食塩水の問題でよく使う〈てんびん〉は、今回のような平均算にも使うことができます。
※食塩水のてんびんをご存知ない方は第3講座をどうぞ!

ウデの左端に2軍の平均点、右端に1軍の平均点を取り、中央に全体の平均点を取ります。
支点中央から両端までの長さの比は、
(68−56):(88−68)=12:20=3:5 
←図では緑の数字で示しました

両端のおもりがそれぞれのクラスの人数にあたり、
てんびんの性質より、ウデの長さとおもりの重さは逆比の関係があるから、
二軍の人数(左のおもり)と一軍の人数(右のおもり)の比は
3:5を逆にして5:3となります。 
←図ではオレンジの数字で示しました

6年生全体の56人を5:3に比例配分して、
一軍の人数は 56×3/8=
21人 二軍の人数は 56×5/8=35人

***
以上今回は 面積図とてんびんを1回ずつ使って平均算のレクチャーをしました。
テストの回数と平均点、あるいは2つのグループの人数と平均点が絡んだ問題では、今回のような解法を使えることが多いでしょう。
復習の意味で、解説と逆に[問題1]をてんびん、[問題2]を面積図で解いてみると、よりいっそう平均算の理解が進むだろうと思います。

第58講座はここまでです。また次にお話できる機会を楽しみにしています。


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