この第58講座の改訂版を姉妹サイト中学受験の算数知恵宝庫(スマホ対応)にNewみんなの算数講座58としてアップしています。 ★講座タイトルを「帰ってきたてんびん」に変更しました これまで以上に読みやすい文体、装飾、見やすい図形を心がけました。算数知恵宝庫にもぜひいらしてくださいね。 |
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今回の講座は平均算の解説です。さんじゅつまんだけには任せておけないと言って、食塩水で有名な〈てんびん〉さんが友情出演してくれます。てんびんさんは顔が広いなぁ。 平均。 シンプルすぎて、言葉で説明しようと思うと意外と困ったりするんだけど、そうそう、みなさん〈左〉ってどういう言葉で説明すればいいと思います?左手の方向では左という字がふくまれていて説明にならないし…。 いゃいつか困ったことがありましてね。それで辞書を引いたのですが、何て書いてあったと思います?〈左〉と引いたら〈右〉の反対だって!?!?!? 説明になっていないと思ったけど、単純すぎる言葉で辞書を書く人も悩んだのでしょうね。 ※これとそっくり同じ話が映画「舟を編む」に出てきたのは驚きました!世の中にはこんな話でもおんなじことを考える人がいるんですね〜。 あ〜また脱線してしまいました..... 平均も言葉だとすごく説明しにくいのですが、いくつかの量を同じ大きさにそろえた量(ならした量)のことかな。 平均の計算方法はいくつかあるのですが、算数で使う平均は @ぜんぶ合計してA合計した個数で割る計算方法でよいですね。※相加平均といいます 平均(相加平均)=全データの総合計÷全データの個数 ※ちなみに相加平均以外の平均には相乗平均(そうじょうへいきん)があります。全データすべての積を、全データ数に応じた累乗根で表すという平均です。2と3の相乗平均はルート(2×3) → ルート6=2.236… 高校で習いますが(相加平均)≧(相乗平均)という関係があります。 2と3の相加平均は(2+3)÷2=2.5。 2.5>2.236…ですね。 さて、この平均なんですが、入口はとてもやさしいのですが、算数の文章題ではけっこう解きにくい問題があります。 では今回の問題を見てください。
どうですか? 恒例、しばらくの空白を作りますから考えてみてください。 空白が終わると解説です。 平均算では、面積図や、食塩水のときによく使うてんびんが有力な解法です。 では問題1を面積図、問題2をてんびんで解説することにしましょう。 問題1 解説 面積図はいろいろな問題で登場しますね。算数のキーマンのひとりですよね。 面積図のタテ線が平均点、ヨコ線がテストの回数を示します。 (今までのテストの回数が?) 左側の長方形の面積は77×?で、これが今までのテストの合計得点を示しています。また、右側の長方形の面積が95×1で、これが次回1回の95点のテストを示しています。 左右の長方形を平均化させて太線で囲んだ長方形にすると、アの面積とイの面積が等しいことになります。(イの長方形がアの長方形に組み込まれて平均化する) 3×?=15×1 この式から□=5とわかり、今までのテストの回数は5回です。 次のテストは1回を加えて6(回目)です。 問題2 解説 食塩水の問題でよく使う〈てんびん〉は、今回のような平均算にも使うことができます。 ※食塩水のてんびんをご存知ない方は第3講座をどうぞ! ウデの左端に2軍の平均点、右端に1軍の平均点を取り、中央に全体の平均点を取ります。 支点中央から両端までの長さの比は、 (68−56):(88−68)=12:20=3:5 ←図では緑の数字で示しました 両端のおもりがそれぞれのクラスの人数にあたり、 てんびんの性質より、ウデの長さとおもりの重さは逆比の関係があるから、 二軍の人数(左のおもり)と一軍の人数(右のおもり)の比は 3:5を逆にして5:3となります。 ←図ではオレンジの数字で示しました 6年生全体の56人を5:3に比例配分して、 一軍の人数は 56×3/8=21人 二軍の人数は 56×5/8=35人 *** 以上今回は 面積図とてんびんを1回ずつ使って平均算のレクチャーをしました。 テストの回数と平均点、あるいは2つのグループの人数と平均点が絡んだ問題では、今回のような解法を使えることが多いでしょう。 復習の意味で、解説と逆に[問題1]をてんびん、[問題2]を面積図で解いてみると、よりいっそう平均算の理解が進むだろうと思います。 第58講座はここまでです。また次にお話できる機会を楽しみにしています。 |
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