テスト１番
みんなの算数講座＜雪だるまバージョン＞第１講座準拠
整数756には何個の約数がありますか？
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１番解答 24個
１番解説 756を素因数に分解すると2×2×3×3×3×7です。
この素数部品について、種類別に個数を数えると2個、3個、1個です。
これらの個数にどれも1を加えて求めた積が約数の個数です。
(2+1)×(3+1)×(1+1)＝3×4×2＝24
756には24個の約数があります。
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テスト２番
みんなの算数講座＜雪だるまバージョン＞第２講座準拠
整数756の約数をすべて加えるといくつになりますか？
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２番解答 2240
２番解説 756を素因数に分解すると2×2×3×3×3×7です。
この素数部品を種類別に取り上げ、次のような和を求めます。
２→2個→1と2と22の和 1+2+2×2＝1+2+4=7
３→3個→1と3と32と33の和 1+3+3×3+3×3×3=1+3+9+27=40
７→1個→1と7の和 1+7=8
これらの和のすべての積が756の約数の総和です。求める解答は7×40×8=2240です。
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テスト３番
みんなの算数講座＜雪だるまバージョン＞第３講座準拠
3％の食塩水240gに18％の食塩水を混ぜたところ、9％の食塩水ができました。9％の食塩水は何gできましたか？
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３番解答 400g
３番解説 下のようなてんびん図で考えます。
でき上がった食塩水の濃度と、混ぜ合わせた食塩水の濃度の差の比は、
(9－3)：(18－9)＝6：9＝2：3です。
混ぜ合わせた食塩水の重さは、この比を逆にした3：2になります。
したがって18％の食塩水の重さは240×2/3＝160g。
でき上がる9％の食塩水の重さは240＋160＝400gです。
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テスト４番
みんなの算数講座＜雪だるまバージョン＞第４講座準拠
下の図で、AD:DB＝2:5、BC:CE＝7:3のとき、AF:FCを求めてください。
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４番解答 4:3
４番解説 下図のようにCを通るDEの平行線GCを引きます。
DEとGCは平行だから、DG:GB＝EC:CB＝3:7
DB＝５を基準とすると、DG＝５×3/(3+7)＝５×3/10＝3/2です。←青い比の数字にそろえる方針
DFとGCは平行だから、AD:DG＝AF:FC
したがって求める解答はAD:DGと等しく、２:3/2＝4:3となります。
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テスト５番
みんなの算数講座＜雪だるまバージョン＞第５講座準拠
9で割ると6余り、12で割ると9余る整数のうち、1000にもっとも近い整数はいくつですか？
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５番解答 1005
５番解説 2つの条件で、割る数と余りの差がともに3であることがポイントです。
9で割ると6余る整数は9の倍数より3小さい整数で、12で割ると9余る整数は12の倍数より3小さい整数です。
これらのことから、2つの条件にともにあてはまる整数は9と12の公倍数(36の倍数)より3小さい整数とわかり、36×□－3(□は任意の自然数)と表現することができます。この式の値がもっとも1000に近づくのは、□＝28の場合で、求める解答は36×28－3＝1005です。
＊□＝28の判断は1000÷36＝27.…がおおよその目安になるでしょう。□＝27の場合は36×27－3＝969となりますが、これよりも1005の方が1000に近いです。
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テスト６番
みんなの算数講座＜雪だるまバージョン＞第６講座準拠
次の「 」内の文は、第６講座の最後で答えなかった16の倍数の判定法です。空らんア、イにあてはまる1ケタの整数をそれぞれ答えてください。解答はいくつかあります。
「16の倍数は下4ケタを(ア)で割った値が(イ)の倍数になる整数です」
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６番解答 (ァ)4(イ)4 または (ァ)8(イ)2
６番解説 10000が16で割り切れることから、10000の倍数は例外なく16で割り切れます。このことは「ある整数が16で割り切れるかどうか」の判定において、一万の位より上位の位を考慮する必要がないことを意味しています。(例/52万でも137万でも16で割り切れる)
つまり任意のある整数は、下4ケタが16で割り切れれば16の倍数です。
ここでその条件をさらに簡素化することを考えます。
16＝2×2×2×2のように分解できるから、これを2×2と2×2に分割すれば、
16の倍数とは「Ⅰ…下4ケタを4で割った値が4の倍数」と捉えることができ、また、2×2×2と2に分割すれば、16の倍数とは「Ⅱ…下4ケタを8で割った値が2の倍数(偶数)」と捉えることができます。
＊Ⅱの前後を逆にして「下4ケタを2で割った値が8の倍数」も正しいですが、これは最後に8の倍数判定を残してしまうから、Ⅱの順番でまとめた方が判定法としてすぐれていそうです。
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テスト７番
みんなの算数講座＜雪だるまバージョン＞第７講座準拠
ある水そうに、Ａ管とＢ菅の両方を使って水を入れると８分間で満水時の量の3/5まで入り、Ａ管のみでは20分間に満水時の量の2/3まで入ります。Ｂ管のみで水そうを満水にするには何分かかりますか？
＊分数表記は分子/分母です。
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７番解答 24分
７番解説 水そうの満水量として、分数の分母の5,3と所要時間の8分,20分のいずれでも割り切れるように120を用います。
Ａ管だけを使うと、満水量120の2/3、すなわち80の水が20分で入るから、Ａ管の1分あたりの給水量は4です。(80÷20分)…ア
Ａ,Ｂ両方の管を使うと、満水量120の3/5、すなわち72の水が8分で入るから、Ａ,Ｂ両方の管を使ったときの1分あたりの給水量は9です。(72÷8分)…イ
イ－アより、Ｂ管の1分あたりの給水量は5とわかり、Ｂ管だけを使ったとき、水そうが満水になるまでの時間は120÷5＝24分と求めることができます。
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テスト８番
みんなの算数講座＜雪だるまバージョン＞第８講座準拠
下の図左のように底面が直角二等辺三角形で、高さが10cmの三角すいがあります。
(底面は図右参照。等しい辺の長さは５cmです)
この三角すいの体積は、[底面積×高さ×1/3]の公式から、
５×５×1/2×10×1/3＝125/3＝41と2/3cm3と求めることができます。
では、この三角すいの表面積は何cm2ですか？
ヒント…この立体の展開図を考えることになります。
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８番解答 100cm2
８番解説
 題意の三角すいは、左のような1辺の長さ10cmの正方形の展開図に表すことができます。したがって求める表面積は10×10＝100cm2です。
＊この解法は一度知識として抑えておかないと、自力で思いつくのは大変かもしれません。側面のうち、底面と垂直になっていない面の面積を公式[底辺×高さ×1/2]で求めるのは困難だからです。
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テスト９番
みんなの算数講座＜雪だるまバージョン＞第９講座準拠
 右の図で、ＡからＢまで遠回りせずに進む方法は全部で何通りありますか？
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９番解答 31通り
 ９番解説 Ａ地点から各交差点までの最短経路数は右に示した通りです。Ａの真上方向、真右方向の交差点はどの交差点も1通りの経路しかなく、それ以外の交差点では、左の数字と下の数字を合計するのがポイントです。最上部の６は、左に交差点がないため、下の交差点と同じ６になります。
求める解答は31通りです。くわしくは第9講座をご覧ください。
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テスト10番
みんなの算数講座＜雪だるまバージョン＞第10講座準拠
 算数の問題では、直角二等辺三角形の面積Ｓ(cm2)を斜辺の長さｄ(cm)を使って求めることがよくあります。
そのときのために、Sとdの関係を「Ｓ＝……」の形で作ってください。
式に単位をつける必要はありませんが、なるべく簡潔な式にしてください。
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10番解答 「S=d×d×1/4」
10番解説 上の直角二等辺三角形は、対角線の長さがd(cm)の正方形の半分です。
正方形の面積は[対角線×対角線×1/2]で求めることができるから、上の直角二等辺三角形の面積はさらにそれを1/2倍して[d×d×1/4]で求めることができます。
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テスト11番
みんなの算数講座＜雪だるまバージョン＞第11講座準拠
 四国地方の白地図を、下の２つのルールにしたがって、
４色のクレヨンでぬり分けたいと思います。
全部で何通りのぬり分け方がありますか？
ルール
・隣り合う県には同じ色を塗らない
・３色で塗り分けても４色で塗り分けてもよい
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11番解答 48通り
11番解説 隣接していない県(同じ色にしてもかまわない県)は香川と高知だけです。
香川、愛媛、徳島、高知の順にぬる色を考えると、香川はどの色でもよく４通り、愛媛は香川で使った色が使えないから３通り、徳島は前の２県で使った色が使えないから２通り、最後の高知は「残った色または香川と同じ色」の２通りです。
したがって求める解答は４×３×２×２＝48通りとなります。
アドバイス
ここでは４色ぬりと３色ぬりをまとめて計算する方法を示しました。第11講座で解説したように、４色ぬりと３色ぬりを分けて考える方法にも応用性があります。そちらについては講座をご参考ください。
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テスト12番
みんなの算数講座＜雪だるまバージョン＞第12講座準拠
下の図は１辺の長さが10cmの正方形の中に４つの半円を書いたものです。
斜線部分の面積は何cm2ですか？円周率は3.14とします。
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12番解答 57cm2
12番解説 半径５cm、中心角90°のおうぎ形から、等しい辺の長さが５cmの直角二等辺三角形を引くと、レンズ型の半分の面積が求められます。斜線部分の面積はその８つ分です。
(5×5×3.14×90/360－5×5×1/2)×8＝(19.625－12.5)×8＝7.125×8＝57cm2
アドバイス
「レンズ型の面積＝外側を包む正方形の面積×0.57」も使えます。第12講座をご覧ください。
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テスト13番
みんなの算数講座＜雪だるまバージョン＞第13講座準拠
スズシー高原ホテルを貸し切りにして、ある進学塾の６年生夏期合宿が行われました。
１部屋に３人ずつ泊まると16人の生徒が泊まれなくなり、１部屋に５人ずつ泊まると、
３人しかいない部屋が１部屋と、誰もいない空き部屋が２部屋できてしまうそうです。
この合宿に参加した６年生は全部で何人でしょうか？
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13番解答 58人
13番解説 それぞれの泊まり方について、ホテルの定員に対する生徒の過不足を考えます。
５人ずつ泊まる場合は、３人しかいない部屋で２人、空き部屋で５×２＝10人が不足するから合計12人の不足です。
３人ずつ→16人余る
５人ずつ→12人不足する
あとは簡単な過不足算です。全体の人数差を１部屋の人数差で割ることで部屋数を求めることができます。
(16+12)÷(５－３)＝14部屋
参加した生徒数は14×３＋16＝58人です。＊14×５－12＝58人でも同じことです。
アドバイス
基礎的な過不足算については、第13講座本編で解説しています。そちらもご参考ください。
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テスト14番
みんなの算数講座＜雪だるまバージョン＞第14講座準拠
ウニ、いくら、まぐろ、イカ、サーモン、アジ、シャコの７種類のお寿司が
１つずつあります。
工藤君は、この中から好きなお寿司を３個を選びたいと思っています。
選び方は全部で何通りありますか？
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14番解答 35通り
14番解説 異なる7つのものの中から、3つのものを選ぶ組合せの問題です。
計算方法は、7つのうちの3つを並べる場合の7×6×5(通り)を、3つを並べる場合の3×2×1(通り)で割ることになります。
＊7×6×5だけでは、内容が同じで並び順だけが違うものが重複してしまいます。
実際には7×6×5を分子に、3×2×1を分母に書いて約分していくとよいでしょう。
アドバイス
算数や数学でとてもよく使う計算ですね。不安な方はもう一度第14講座をお読みになってください。
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テスト15番
みんなの算数講座＜雪だるまバージョン＞第15講座準拠
 右の図の立体は、22個の立方体を積み上げて作った立体です。
この状態で立体の表面(底面ふくむ)に赤い色を塗ってからバラバラにくずします。
そのとき、２つの面が赤くなっている立方体は全部で何個ありますか？
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15番解答 6個
15番解説 22個の立方体を1段ごとにピックアップした平面図の中に「赤くなる面の数」を記入してくと次のようになります。2つの面が赤くなる立方体は赤い数字で示した6個です。
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テスト16番
みんなの算数講座＜雪だるまバージョン＞第16講座準拠
 左の図で、BG:GFの比を求めてください。
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16番解答 24:31
 16番解説 右の図のように補助線EF、FCを引いて考えます。
BGとGFの線分比は
△EBGと△EGFの面積比…①
△GBCと△FGCの面積比…②
と等しいです。
同じ比である①②を合計した面積も同じ比になるから←加比の理
(△EBG＋△GBC)と(△EGF＋△FGC)の面積比、
すなわち△EBCと△ECFの面積比を求めれば題意の解答になります。
△EBC＝3×8÷2＝12
△ECFは全体の長方形からまわり3つの三角形を引いて、
5×8－(2×5÷2＋3×8÷2＋3×5÷2)＝40－(5+12+7.5)＝40－24.5＝15.5
題意の解答は12:15.5を整数比に直して24:31です。
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テスト17番
みんなの算数講座＜雪だるまバージョン＞第17講座準拠
現在、おじいちゃんとおばあちゃんの年令の和は154才、３人の孫の年令の和は16才です。
おじいちゃんとおばあちゃんの年令の和が、３人の孫の年令の和のちょうど４倍になるのは
いまから何年後でしょうか？
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17番解答 ９年後
17番解説 求める年数を①とします。
おじいちゃんとおばあちゃんは２人、孫は３人だから、人数分だけ年数が増加し、
その結果４倍の関係になります。
154＋②＝(16＋③)×４
分配法則で( )をはずすと、154＋②＝64＋⑫
算数流儀の等式整理法(数の雑学バックナンバー第7話参照)により、
⑫－②＝154－64
→⑩＝90
→10で割って①＝９
求める解答は９年後です。
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テスト18番
みんなの算数講座＜雪だるまバージョン＞第18講座準拠
サザエさんが５歩で歩く距離をカツオくんは６歩で歩きます。
また、サザエさんが10歩歩く間にカツオくんは７歩歩きます。
いま、カツオくんが先に50歩歩いてからサザエさんがカツオくんを追いかけると、
サザエさんは何歩歩いたところでカツオくんに追いつくでしょうか？
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18番解答 100歩
18番解説 サザエさんをＳ、カツオくんをＫと表記します。
Ｓが５歩で歩く距離をＫは６歩で歩くから、二人の歩幅の比は６:５(逆比)です。
Ｓが10歩歩く間にＫは７歩歩くから、二人の歩数の比は10:７です。
歩幅の比×歩数の比＝速さの比だから、
二人の速さの比は(６×10):(５×７)＝60:35＝12:７です。
ＳがＫを追いかけ始めてから追いつくまでに進む距離は速さの比と等しく12:７であり(*参照)、この差の５(＝12－７)にあたる距離がＫが最初に歩いた50歩です。
５＝Ｋにとっての50歩→１＝Ｋにとっての10歩より、
Ｓが歩いた12の距離はＫにとっての120歩です。
Ｋにとっての６歩をＳは５歩で歩くから、Ｋにとっての120歩をＳが歩くと120×5/6＝100歩で歩くことになります。
(*)進む時間が同じとき、進む距離の比＝速さの比
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テスト19番
みんなの算数講座＜雪だるまバージョン＞第19講座準拠
さやかさんが家から学校まで分速60ｍで歩いていくと、始業の１分前に学校に着きますが、
担任の先生から「余裕を持って登校しなさい」と注意されたので、分速150ｍの自転車通学に
切りかえたところ、始業の13分前に学校に着くようになりました。
さやかさんの家から学校までは何ｍありますか？
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19番解答 1200m
19番解説 ここでは速さの比を使う解法を紹介します。
以前と今を比べると、速さの比は60:150＝2:5です。
家から学校までの距離は変わらないから、速さの比と所要時間の比は逆比になり、
所要時間の比は5:2です。
以前と今では所要時間に12分(13分前－1分前)の差があり、
これが比の3(＝5－2)にあたります。
比の1は12÷3＝4分だから、以前の所要時間(5)は4×5＝20分です。
家から学校まで分速60mの速さで20分かかるから、求める距離は60×20＝1200mです。
＊この他に速さの差集め算で解く方法も有名です。
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